Question

Через вершину C треугольника ABC проведена прямая , параллельная его биссектрисе AA1 и пересекающая прямую AB в точке D. Докажите ,что AC=AD

Answer 1

A1A2...An
−−−→
A1A2
A1A2
+ ... +
−−−→
AnA1
AnA1
= 0
BC, CA AB A1, B1, C1
AA1, BB1 C C1
! " M#
$ A1 B1C1 M A1# % BMC
& ' A B B1 #
C C1 BC B1C1
! K (

ABC
AD
B1C1

AB1C1
AD1
BC
D, D1 K

)
ABCD
! M ∠AMD =
120
◦ AM = M D BC
E AB C D # K P K E AC EP BD $

K E P AD
*
ABCD+∠BAD# , - BAD

C D L
! BC# K " O# $

LCK D, B, C O
. / M !
4 AkBk
k = 1, 2, 3, 4 P

A1A2 A3A4 Q

B1B2 B3B4 M

0 "
$
ABC

AC BC E F C E + C F ≥
4BC∗AC
AB+BC+C A

Answer 2

Для доказательства AC=AD, мы можем воспользоваться свойствами параллельных линий и треугольников.

Пусть M - середина отрезка BC, и пусть AM пересекает CD в точке E. Так как линия CD параллельна биссектрисе AA1 треугольника ABC, то из теоремы о параллельных линиях следует, что треугольники ADE и AMC подобны.

Из подобия треугольников мы можем записать следующее соотношение длин:

(AE / AC) = (AD / AM)

Также заметим, что треугольники ABE и ABC подобны, так как угол BAE равен углу BAC, и угол ABE равен углу ABC (по построению линии CD). Поэтому:

(AB / AC) = (AE / AB)

Теперь объединим эти два уравнения:

(AB / AC) = (AE / AB) * (AD / AM)

Теперь мы можем рассмотреть правую часть этого уравнения. Заметим, что (AE / AB) это отношение длины отрезка AE к длине отрезка AB в треугольнике ABE, и (AD / AM) это отношение длины отрезка AD к длине отрезка AM в треугольнике ADM.

Поскольку треугольники ABE и ABC подобны, (AE / AB) равно (AC / AC), то есть единице. А так как AM - это медиана треугольника ABC, то (AD / AM) равно 2 (см. отношение медианы к стороне треугольника). Таким образом, правая часть уравнения равна 2.

Теперь мы имеем:

(AB / AC) = 1 * 2

AB / AC = 2

Из этого следует:

AB = 2 * AC

Теперь давайте рассмотрим треугольник ACD. Мы знаем, что AD = 2 * AC (из предыдущего уравнения), и из оригинального вопроса мы знаем, что линия CD параллельна AB. Это означает, что угол ADC равен углу ABC (как соответственные углы при параллельных линиях).

Таким образом, у нас есть треугольник ACD, в котором AD = 2 * AC и угол ADC равен углу ABC. Из этого следует, что треугольники ACD и ABC подобны по стороне-угол-стороне (SAS).

Следовательно, соответствующие стороны треугольников ACD и ABC пропорциональны, и это означает, что AC = AD.

Таким образом, мы доказали, что AC = AD.