Question

У ромбі ABCD з вершинами тупого кута A проведено висоти AM і AP до сторін DC і BC відповідно. Знайдіть периметр ромба , якщо BP=5 см, кут MAP дорівнює 60°

Answer 1

Давайте розглянемо ромб ABCD з вершинами тупого кута A. Зазначте AM і AP як висоти, проведені від точки A до сторін DC і BC відповідно. Також, нехай BP = 5 см, і кут MAP дорівнює 60°.

1. Знайдемо сторону ромба: Оскільки ромб має прямі кути, AM і AP є висотами, а отже, вони розділяють ромб на два рівні трикутники: AMB і APC. Обидва ці трикутники є рівнобедреними, оскільки AM і AP - висоти ромба.

Знаємо, що кут MAP дорівнює 60°, а отже, кути MAB і PAC також дорівнюють 60°. Також, кути MBA і PCA рівні, оскільки вони відповідні кути рівнобедрених трикутників.

Отже, трикутники MAB і PAC є рівносторонніми, і сторона ромба дорівнює MA = MP.

2. Знайдемо сторону ромба у трикутнику APC: У трикутнику APC маємо дві рівні сторони: AP і AC (бо рівнобедрений трикутник). Також, кут PAC дорівнює 60°. Отже, можемо скористатися косинусним правилом для трикутника: \[ AC^2 = AP^2 + PC^2 - 2 \cdot AP \cdot PC \cdot \cos(PAC) \]

Підставимо відомі значення: \[ AC^2 = MP^2 + PC^2 - 2 \cdot MP \cdot PC \cdot \cos(60°) \]

Також, маємо, що MA = MP. Отже, \[ AC^2 = MA^2 + PC^2 - MA \cdot PC \]

Тепер, маючи сторону AC, ми можемо знайти сторону ромба, оскільки вона рівна MA = MP.

3. Знайдемо периметр ромба: Периметр ромба дорівнює чотирикратному значенню однієї сторони. Таким чином, \[ \text{Периметр} = 4 \cdot MA \]

Підставимо відомі значення і розрахуємо периметр ромба.