Question

1.Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 1, 2, 4, 8. 2. Периметр прямокутника дорівнює 72 см. Знайдіть його сторони, якщо одна з них у 3 рази більша за другу. 3. Бісектриса кута паралелограма поділяє одну з його сторін на відрізки 3см і 6см, рахуючи від вершини, суміжної з кутом, з якого провели бісектрису. Знайти периметр паралелограма. 4. У ромбі ABCD з вершини тупого кута B проведені висоти ВЕ і ВF до сторін AD і DC відповідно. Кут EBF дорівнює 300. Знайдіть периметр ромба, якщо ВЕ = 6 см.

Answer 1

1. Щоб знайти кути чотирикутника, давайте позначимо їх як A, B, C і D, де кут A відповідає числу 1, кут B - числу 2, кут C - числу 4, а кут D - числу 8. Спільний знаменник для пропорцій - 1. Тоді ми отримаємо:

A : B : C : D = 1 : 2 : 4 : 8

Або, в іншому вигляді, якщо кут A дорівнює x градусів, то:
B = 2x градусів,
C = 4x градусів,
D = 8x градусів.

2. Позначимо сторони прямокутника як "x" і "3x" (оскільки одна сторона у 3 рази більша за іншу). За відомим периметром прямокутника (P) маємо:

P = 2 * (x + 3x) = 2 * 4x = 8x.

Оскільки P дорівнює 72 см, то:

8x = 72,
x = 9.

Отже, сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 3 * 9 = 27 см.

3. Давайте позначимо бісектрису кута як BC і сторону паралелограма, яку вона ділить, як AB. Ми знаємо, що AB = 3 см і BC = 6 см. Оскільки бісектриса ділить сторону AB на дві частини, то можемо знайти AC:

AC = 2 * 3 см = 6 см.

Тепер можемо знайти сторону CD, яка дорівнює AC:

CD = 6 см.

Периметр паралелограма P дорівнює сумі сторін AB + BC + CD + DA:

P = 3 + 6 + 6 + 3 = 18 см.

4. Оскільки кут EBF дорівнює 30 градусів, то він є тупим кутом, оскільки тупий кут має розмір від 90 до 180 градусів. Тобто, кут B рівний 180 - 30 = 150 градусів.

Тепер ми знаємо, що в ромбі кут B дорівнює 150 градусів. Оскільки сума всіх кутів в ромбі дорівнює 360 градусів, кожен інший кут в ромбі дорівнює (360 - 150) / 3 = 70 градусів.

Тепер, використовуючи відомі кути, ми можемо знайти сторону ромба. Оскільки в ромбі всі сторони однакові, назвемо сторону ромба "a". За правилом синусів:

a / sin(150°) = 6 см / sin(70°).

a / √3/2 = 6 см / √(3 - 1/2).

a / (√3/2) = 6 см / (√(5/2)).

a / (√3/2) = 6 см * (√2/√5).

a / (√3/2) = 12√2 / √5.

a = (12√2 / √5) * (√3/2).

a = 6√6 см.

Оскільки у ромбі всі сторони однакові, периметр ромба дорівнює 4a:

P = 4 * 6√6 см = 24√6 см.

Answer 2

Задача 1: Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 1, 2, 4, 8.

Для знаходження кутів чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 1, 2, 4, 8, спочатку визначимо загальну суму кутів чотирикутника. Загальна сума кутів в будь-якому чотирикутнику дорівнює 360 градусів.

Тепер, враховуючи пропорцію, визначимо кути чотирикутника шляхом множення кожного числа на загальну суму кутів та поділу на суму чисел:

Перший кут = (1 / (1+2+4+8)) * 360 = 45 градусів Другий кут = (2 / (1+2+4+8)) * 360 = 90 градусів Третій кут = (4 / (1+2+4+8)) * 360 = 180 градусів Четвертий кут = (8 / (1+2+4+8)) * 360 = 45 градусів

Таким чином, кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 1, 2, 4, 8, дорівнюють 45 градусів, 90 градусів, 180 градусів і 45 градусів відповідно.

Задача 2: Знайдіть сторони прямокутника, якщо одна з них у 3 рази більша за другу, а периметр дорівнює 72 см.

Нехай x буде довжиною другої сторони прямокутника. Тоді довжина першої сторони буде 3x.

Периметр прямокутника дорівнює сумі довжин всіх його сторін, тому:

2 * (3x + x) = 72

Спростивши це рівняння, отримаємо:

8x = 72

Розділимо обидві частини на 8:

x = 9

Тому, довжина другої сторони прямокутника дорівнює 9 см, а довжина першої сторони дорівнює 3 * 9 = 27 см.

Отже, сторони прямокутника дорівнюють 27 см та 9 см.

Задача 3: Знайдіть периметр паралелограма, якщо бісектриса кута паралелограма поділяє одну з його сторін на відрізки 3 см і 6 см, рахуючи від вершини, суміжної з кутом, з якого провели бісектрису.

Нехай а і b будуть довжинами сторін паралелограма, яку поділила бісектриса кута. Тоді:

a = 3 + 6 = 9 см b = 3 + 6 + 3 = 12 см

Так як протилежні сторони паралелограма рівні за довжиною, периметр паралелограма дорівнює:

2 * (a + b) = 2 * (9 + 12) = 2 * 21 = 42 см

Отже, периметр паралелограма дорівнює 42 см.

Задача 4: Знайдіть периметр ромба, якщо ВЕ = 6 см та кут EBF дорівнює 300 градусів.

У ромбах, протилежні сторони рівні за довжиною, тому ВE = ВF = 6 см.

Кут EBF дорівнює 300 градусів, що є тупим кутом. У ромбах тупий кут дорівнює 180 градусам.

Оскільки кут EBF дорівнює 300 градусам, це означає, що кут FBE дорівнює 180 - 300 = -120 градусам.

Так як сума всіх кутів ромба дорівнює 360 градусам, ми можемо знайти кут BFD:

360 - 120 - 90 = 150 градусів

Тепер, враховуючи, що у ромбах протилежні кути рівні, кут BFD також дорівнює 150 градусам.

Так як у ромбах сторони рівні за довжиною, периметр ромба дорівнює:

4 * ВE = 4 * 6 = 24 см

Отже, периметр ромба дорівнює 24 см.

Answer 3

1. Щоб знайти кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 1, 2, 4, 8, потрібно розділити 360 (сума всіх кутів у чотирикутнику) на суму цих чисел (1 + 2 + 4 + 8 = 15) і помножити кожне з чисел на отриманий результат. Отримаємо: 1*360/15 = 24, 2*360/15 = 48, 4*360/15 = 96, 8*360/15 = 192. Таким чином, кути чотирикутника будуть дорівнювати 24°, 48°, 96°, 192°.

2. Нехай одна сторона прямокутника дорівнює х, а інша - 3х. Тоді периметр прямокутника буде дорівнювати 2(х + 3х) = 2*4х = 8х. За умовою завдання периметр прямокутника дорівнює 72 см, тому 8х = 72, звідки х = 9. Таким чином, сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 27 см.

3. Бісектриса кута паралелограма розділяє протилежну сторону на відрізки, які є пропорційними зі сумою інших двох сторін паралелограма. Таким чином, якщо один відрізок дорівнює 3 см, а другий - 6 см, то сума інших двох сторін також дорівнює 3 + 6 = 9 см. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то периметр паралелограма дорівнює 2*(3+6) = 18 см.

4. Оскільки кут EBF дорівнює 30°, то кут EBF і кут EAF (так як кут EAF = 180° - кут EBF) дорівнюють 30° і 150° відповідно. Оскільки кути EAF і FCD є суміжними, то FCD дорівнює 150°. Таким чином, у ромбі кути дорівнюють 90°, 90°, 30° і 60°. Оскільки у ромба всі сторони рівні, то периметр ромба дорівнює 4*6 = 24 см.