Question

Задача на применение теоремы Менелая.Прямая KP делит сторону AB треугольника ABC в отношении  AK:KB=2:1, а сторону BC - в отношении BP:PC=3:1. Медиана BB1 пересекает прямую KP в точке M. При этом площадь четырёхугольника B1MPC равна 17. Найдите площадь треугольника ABC.

Answer 1

//////////////////////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Для решения задачи мы будем использовать теорему Менелая, которая гласит:

Если в треугольнике три точки лежат на одной прямой, то отношение расстояний от первой точки до двух других равно произведению отношений, в которых эти точки делят сторону треугольника, проходящую через первую точку.

Применяя теорему Менелая к треугольнику ABC и прямой KP, получаем:

(AC / CB) * (BK / KA) * (AP / BP) = 1,

где AC, CB, BK, KA, AP и BP обозначают отрезки на сторонах треугольника ABC, как показано на рисунке ниже.

Заметим, что из условия задачи AK : KB = 2 : 1 и BP : PC = 3 : 1 следует, что AP : PB = 2 : 3 и CP : PB = 1 : 3. Поэтому мы можем записать:

BK / KA = 1 / 2 и BP / PC = 3 / 1,

что дает нам:

AC / CB = 2.

Таким образом, мы получаем, что сторона AC в два раза длиннее стороны CB.

Обозначим через X точку пересечения медианы BB1 и стороны AC. Поскольку медиана BB1 делит сторону AC пополам, то AX = XC. Обозначим через Y точку пересечения медианы BB1 и стороны AB.

Так как точка M лежит на прямой KP, то по теореме Менелая имеем:

(BM / M K) * (KP / PA) * (AC / CB) = 1.

Заменяем AC / CB на 2 и BP / PC на 3 / 1:

(BM / M K) * (KP / PA) * 2 = 1.

Также заметим, что из того, что медиана BB1 является биссектрисой угла ABC, следует, что BY / YC = AB / AC = 2 / 3. Следовательно, YC = 3 BY / 2 и XC = AX = 3 AC / 4.

Обозначим через h высоту треугольника ABC, проведенную из вершины B. Тогда площадь треугольника ABC равна S = (1 / 2) * h * AB.

Площадь четырехугольника B1MPC можно выразить через площадь треугольника ABC и площадь треугольников B1BY и BYC:

S(B1MPC) = S(ABC) - S(B1