Question

В произвольном треугольнике известны три его высоты: h1, h2, h3. Найти радиус вписанной окружности.

Answer 1

...........................

Answer 2

Давайте обозначим стороны треугольника через a, b и c, а его полупериметр через p (p = (a + b + c) / 2). Тогда площадь треугольника можно выразить двумя разными способами: через длины сторон и через высоты.

Способ 1 (через стороны): Площадь треугольника S = (1/2) * a * h1 = (1/2) * b * h2 = (1/2) * c * h3.

Способ 2 (через полупериметр): Площадь треугольника S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Поскольку оба выражения равны площади треугольника, мы можем приравнять их:

(1/2) * a * h1 = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Теперь мы можем выразить сторону a через h1 и p:

a = (2 * h1) / sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Аналогично можно получить выражения для b и c:

b = (2 * h2) / sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), c = (2 * h3) / sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Теперь, когда у нас есть значения сторон a, b и c, мы можем найти радиус вписанной окружности (r) с использованием формулы для площади треугольника:

S = p * r, где S - площадь треугольника, рассчитанная через стороны.

Таким образом, радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

r = S / p = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) / p.

Заметьте, что этот метод предполагает, что треугольник существует (т.е. неравенство треугольника выполняется: a + b > c, a + c > b, b + c > a), и что высоты h1, h2 и h3 действительно принадлежат этому треугольнику.