Question

Угол ACB треугольника ABC равен 60°. Высоты AA 1 и BB1 пересекаются в точке H, BH = 3, HB1=2. Чему равна высота AA1? (Вторая лемма о высотах).

Answer 1

Ответ:

========================================

Объяснение:

Answer 2

В этой задаче надо использовать свойство треугольника с углом 30 градусов.

АН = 2НВ1 = 2*2 = 4.

НА1 = (1/2)ВН = (1/2)*3 = 1,5.

Ответ: АА1 = 4 + 1,5 = 5,5.

Answer 3

Вторая лемма о высотах утверждает, что если в треугольнике есть две высоты, пересекающиеся в одной точке (назовем эту точку H), то отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения высот, делит этот отрезок на две части, пропорциональные длинам смежных отрезков высот. Другими словами, в данной ситуации:

$\frac{AH}{HA_1} = \frac{BH}{HB_1}$.

Известно, что $BH = 3$ и $HB_1 = 2$. Подставляя эти значения в уравнение, получаем:

$\frac{AH}{HA_1} = \frac{3}{2}$.

Теперь, чтобы найти отношение высот $AH$ и $HA_1$, можно взять обратные величины:

$\frac{HA_1}{AH} = \frac{2}{3}$.

Из данного отношения видно, что $HA_1$ составляет $2$ части от трех, то есть $HA_1$ равно $2/3$ высоты $AH$:

$HA_1 = \frac{2}{3} \cdot AH$.

Так как в треугольнике высоты пересекаются в одной точке, сумма длин высот равна высоте основания. То есть:

$AH + HA_1 = AA_1$.

Мы уже знаем, что $HA_1 = \frac{2}{3} \cdot AH$, поэтому подставляя это значение в уравнение, получаем:

$AH + \frac{2}{3} \cdot AH = AA_1$,

$\frac{5}{3} \cdot AH = AA_1$,

$AH = \frac{3}{5} \cdot AA_1$.

Теперь мы можем выразить высоту $AA_1$ через $AH$:

$AA_1 = \frac{5}{3} \cdot AH$.

Поскольку угол ACB равен 60°, треугольник ABC является равносторонним, и все его стороны равны между собой. Так как $AH$ - это высота треугольника, она является отношением высоты к основанию и может быть вычислена как:

$AH = \frac{\text{сторона}}{2} \cdot \sqrt{3}$,

где сторона - длина любой стороны треугольника. Так как стороны равностороннего треугольника одинаковы, можно выбрать любую сторону. Пусть $AB$ - это длина стороны треугольника. Тогда:

$AH = \frac{AB}{2} \cdot \sqrt{3}$.

Теперь мы можем подставить это значение обратно в уравнение для $AA_1$:

$AA_1 = \frac{5}{3} \cdot \frac{AB}{2} \cdot \sqrt{3}$,

$AA_1 = \frac{5}{6} \cdot AB \cdot \sqrt{3}$.

Итак, высота $AA_1$ равна $\frac{5}{6}$ длины стороны треугольника, умноженной на $\sqrt{3}$:

$AA_1 = \frac{5}{6} \cdot AB \cdot \sqrt{3}$