Question

50 БАЛЛОВ!!!!!! Доказать Что средняя линия трапеции равна среднему арифметическому ее оснований

Answer 1

Доказательство смотри на фото:

Answer 2

Конечно, я помогу вам доказать это утверждение.

Пусть у нас есть трапеция ABCD, где AB и CD - основания трапеции, а EF - её средняя линия. Также пусть a и b будут длинами оснований AB и CD соответственно.

Мы знаем, что средняя линия трапеции EF параллельна основаниям AB и CD. Поскольку EF - средняя линия, она делит боковые стороны трапеции пополам. Обозначим точку пересечения EF с боковой стороной AD как G, а точку пересечения EF с боковой стороной BC как H.

Теперь рассмотрим треугольники AEG и BEH. Они являются подобными, так как угол EAG равен углу EBH (они оба вертикальные углы, так как EF параллельна AB и CD), а также угол AEG равен углу BEH, так как это соответственные углы параллельных прямых.

Таким образом, треугольники AEG и BEH подобны. Следовательно, отношение длин боковых сторон AE к BE будет равно отношению длин соответствующих боковых сторон EG к EH:

AE / BE = EG / EH.

Но так как EG и EH - это половины боковых сторон AD и BC (так как EF делит их пополам):

EG = AD / 2, EH = BC / 2.

Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:

AE / BE = (AD / 2) / (BC / 2), AE / BE = AD / BC.

Так как треугольники AEG и BEH подобны, то их высоты относятся так же, как и их основания:

HG / AG = EH / BE, HG / (AG + BG) = EH / BE.

Подставляя выражения для HG и EH из предыдущих уравнений:

(EF / 2) / (AG + BG) = BC / 2.

Так как EF равна средней линии трапеции, то она равна половине суммы её оснований:

EF = (AB + CD) / 2.

Подставляя это в предыдущее уравнение:

((AB + CD) / 2) / (AG + BG) = BC / 2.

Теперь давайте умножим обе стороны уравнения на 2:

AB + CD = BC * (AG + BG).

Мы знаем, что AB + CD = AD, так как это сумма оснований, и AG + BG = AB, так как AG и BG - это боковые стороны трапеции. Подставляя это в уравнение, получаем:

AD = BC * AB.

Таким образом, мы видим, что действительно выполняется условие AD = BC * AB, что означает, что средняя линия трапеции равна среднему арифметическому её оснований.