Question

На сторонах `PQ`, `QR`, `RS`, `SP`  квадрата `PQRS` взяты, соответственно, точки `A`, `B`, `C`, `D`, такие, что `PA:AQ = QB:BR = RC:CS = SD:DP`. Докажите, что `ABCD` – квадрат.

Answer 1

Так как PQRS — квадрат, PQ = QR = RS = SP ⇒ PA = QB = RC = SD, AQ = BR = CS = DP; ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = 90°.

Прямоугольные треугольники APD, BQA, CRB, DSC равны по двум катетам ⇒ AB = BC = CD = DA ⇒ ABCD — ромб; ∠PDA = ∠QAB, ∠PDA + ∠PAD = 90° ⇒ ∠QAB + ∠PAD = 90° ⇒ ∠DAB = 180° - (∠QAB + ∠PAD) = 90°.

В ромбе ABCD ∠A = ∠C = 90°, ∠B = ∠D = 180° - 90° = 90°. AB = BC = CD = DA, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° ⇒ ABCD — квадрат.

Answer 2

Дано, что отношения длин отрезков на сторонах квадрата одинаковы:

1. $PA : AQ = QB : BR = RC : CS = SD : DP$

Требуется доказать, что ABCD - квадрат, то есть противоположные стороны равны ($AB = BC = CD = DA$).

Давайте обозначим длину стороны квадрата через $a$. Тогда длины отрезков можно выразить как:

$PA = a \cdot k$ (где $k$ - коэффициент пропорциональности для стороны $PQ$), $AQ = a \cdot (1 - k)$, $QB = a \cdot (1 - k)$, $BR = a \cdot k$, $RC = a \cdot k$, $CS = a \cdot (1 - k)$, $SD = a \cdot (1 - k)$, $DP = a \cdot k$.

По условию $PA : AQ = QB : BR = RC : CS = SD : DP$, что означает:

$\frac{a \cdot k}{a \cdot (1 - k)} = \frac{a \cdot (1 - k)}{a \cdot k} = \frac{a \cdot k}{a \cdot (1 - k)} = \frac{a \cdot (1 - k)}{a \cdot k}$

Перепишем равенства:

$k^2 = (1 - k)^2$

Раскроем квадраты:

$k^2 = 1 - 2k + k^2$

Поскольку слева и справа стоит одно и то же $k^2$, можно сократить на $k^2$:

$1 = 2k$

$k = \frac{1}{2}$

Теперь, когда $k = \frac{1}{2}$, мы можем выразить длины отрезков через $a$ и $k$:

$PA = \frac{a}{2}$, $AQ = \frac{a}{2}$, $QB = \frac{a}{2}$, $BR = \frac{a}{2}$, $RC = \frac{a}{2}$, $CS = \frac{a}{2}$, $SD = \frac{a}{2}$, $DP = \frac{a}{2}$.

Таким образом, все стороны квадрата $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ имеют одинаковую длину $\frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$, что и доказывает, что ABCD - квадрат.