Question

Стереометрия, 100 баллов Дан куб ABCDA1B1C1D1 с основанием ABCD и боковыми ребрами AA1, BB1, CC1, DD1. Найдите расстояние между прямой, проходящей через середины ребев AB и AA1, и прямой, проходящей через середины ребер BB1 и B1C1, если ребро куба равно 1.

Answer 1

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с основанием ABCD и боковыми ребрами AA1, BB1, CC1, DD1. Найдите расстояние между прямой, проходящей через середины ребев AB и AA1, и прямой, проходящей через середины ребер BB1 и B1C1, если ребро куба равно 1

Объяснение:

Введем прямоугольную систему координат. Тогда координаты точек

К(0; 0,5 ;0)  ,М(0;-0,5 ;0,5) . Вектор КМ(0;-0,5;0,5).

Н(0; 1 ;0,5)  ,Р(-0,5;1 ;1) . Вектор НР(0;-0,5;0,5).

cos(КМ;НР)=$\frac{x_{1} *x_{2}+y_{1} *y_{2}+z_{1} *z_{2} }{|KM|*|HP|} =$$\frac{0+0-\frac{1}{4} }{\frac{\sqrt{2} }{2}*\frac{\sqrt{2} }{2} } =$  $-\frac{1}{4}$ : $\frac{2}{4}$ =-$\frac{1}{2}$

Угол между векторами 120° . Угол между прямыми КМ и НР ( на которых лежат данные вектора) будет меньший угол 180°-120°=60°

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами параллелограмма.

Обозначим середину ребра AB как M, середину ребра AA1 как N, середину ребра BB1 как P и середину ребра B1C1 как Q.

Заметим, что отрезок MN является диагональю параллелограмма AMNB. Также, отрезок PQ является диагональю параллелограмма BPQC.

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1, поэтому длина отрезков AM, NB, BP и PC равна 0.5 (половина длины ребра).

Так как диагонали параллелограмма делятся пополам, то отрезок MN имеет длину 0.25, а отрезок PQ также имеет длину 0.25.

Таким образом, расстояние между прямой, проходящей через середины ребра AB и AA1, и прямой, проходящей через середины ребер BB1 и B1C1, равно 0.25 единицы длины.