Question

Какой угол образует касательная с положительным направление оси абсцисс, если функция возрастает? Какой характер монотонности у функции на промежутке, если её производная отрицательная?

Answer 1

Какой угол образует касательная с положительным направление оси абсцисс, если функция возрастает?

Какой характер монотонности у функции на промежутке, если её производная отрицательная?

Объяснение:

1) Если функция возрастает , то угол наклона прямой y=kx+b является острым  , т.к. к>0 , тангенс угла касательной с положительным  направлением оси абсцисс равен производной в заданной точке , а производная положительна.

2)  Если её производная отрицательная, то функции  монотонно убывает , т.к. угол наклона прямой y=kx+b является тупым,  k<0 .

Answer 2

Если функция возрастает, то касательная в любой точке её графика будет образовывать угол меньше 90 градусов с положительным направлением оси абсцисс. Это происходит потому, что функция возрастает, когда её значения увеличиваются с увеличением аргумента (первой переменной). Таким образом, касательная, проведенная в данной точке, будет подниматься в направлении оси абсцисс.

Если производная функции отрицательна на некотором промежутке, это означает, что функция убывает на этом промежутке. Монотонность функции описывает изменение направления её изменения:

• Если функция убывает на промежутке, то она монотонно убывает на этом промежутке.
• Если функция увеличивает свои значения (возрастает) на промежутке, то она монотонно возрастает на этом промежутке.

Таким образом, если производная функции отрицательна на каком-то промежутке, то функция монотонно убывает на этом промежутке.