Question

Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Известно, что АС=МВ. Докажите, что треугольник АМС - прямоугольный.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М.

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник AMS прямоугольный, нам нужно показать, что угол AMS является прямым углом. Для этого рассмотрим следующие факты:

1. Так как медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M, то точка M является центром тяжести треугольника ABC. Это означает, что отрезок AM делит медиану CC1 пополам, и мы можем записать: MC = MA.

2. Известно, что AC = MB, так как АС = МВ.

Теперь рассмотрим треугольник AMC:

Мы знаем, что MC = MA и AC = MB. Это означает, что у нас есть два равных отрезка, и треугольник AMC сталкивается с двумя равными сторонами. Теперь давайте рассмотрим угол MCA и угол MCB.

3. Угол MCA - это угол между медианой AA1 и стороной AB треугольника ABC.

4. Угол MCB - это угол между медианой BB1 и стороной AB треугольника ABC.

Из равенства медиан треугольника (точка M является их пересечением), у нас есть MCA = MCB.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У нас есть два угла, MCA и MCB, которые равны между собой, и третий угол AMB, который равен 180° минус сумма углов MCA и MCB (по свойству суммы углов треугольника).

Таким образом, AMB = 180° - (MCA + MCB) = 180° - 2*MCA.

Теперь, если угол AMB равен 180° - 2MCA, и MCA = MCB, то AMB = 180° - 2MCA = 180° - 2*MCB. То есть угол AMB также равен 180° минус дважды угол MCB.

Поскольку угол AMB равен двойному углу MCB, то он является прямым углом, и треугольник AMC является прямоугольным треугольником с прямым углом в точке M.