Question

Дан прямоугольный треугольник ABC, в котором угол A =60, угол С =90. Известно, что AC=12. Чему равно расстояние между центрами его вписанной окружности I и вневписанной окружности Ia, касающейся стороны BC?​

Answer 1

Ответ:

24

Объяснение:

Все для ΔABC:

∠C = 90°,  ∠A = 60°, ⇒ ∠B = 30°,  ⇒

AB = 2AC = 24,

BC = AB · sin∠A = 24 · √3/2 = 12√3

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

r = p - c

где р - полупериметр, с - гипотенуза.

p = (24 + 12 + 12√3)/2 = (36 + 12√3)/2 = 18 + 6√3

r = 18 + 6√3 - 24 = 6√3 - 6

Центр вписанной окружности - точка О - точка пересечения биссектрис.

Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\dfrac{CE}{EB}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{12}{24}=\dfrac{1}{2}$

$\boldsymbol{CE}=\dfrac{1}{3}BC\boldsymbol{=4\sqrt{3}}$

__________________________

Центр - точка О₁ - вневписанной окружности, касающейся стороны ВС, лежит на биссектрисе противолежащего угла (свойство вневписанной окружности).

Итак, АО₁ - биссектриса угла А, точка О лежит на ней.

Проведем O₁D - радиус в точку касания, O₁D⊥AC.

ΔАСВ ~ ΔADO₁ по двум углам (прямоугольные, ∠А общий),

$\dfrac{CE}{DO_1}=\dfrac{AC}{AD}$

$\dfrac{4\sqrt{3}}{R}=\dfrac{12}{12+R}$

12R = 48√3 + 4√3R

4R(3 - √3) = 48√3

R√3(√3 - 1) = 12√3

R(√3 - 1) = 12

$\boldsymbol{R}=\dfrac{12}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{12(\sqrt{3}+1)}{2}\boldsymbol{=6\sqrt{3}+6}$

_______________________________

KO₁ = R - r = 6√3 + 6 - (6√3 - 6) = 12

KO = R + r = 6√3 + 6 + 6√3 - 6 = 12√3

ΔO₁KO = ΔACB по двум катетам,  ⇒

OO₁ = AB = 24

Answer 2

Чтобы найти расстояние между центрами вписанной окружности (центр I) и вневписанной окружности (центр Ia), мы можем воспользоваться следующими формулами:

1. Радиус вписанной окружности (r) можно найти по формуле: $r = \frac{a + b - c}{2},$ где $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника. В данном случае, треугольник ABC - прямоугольный, поэтому стороны $a$ и $b$ будут катетами, а $c$ - гипотенузой.

2. Радиус вневписанной окружности (r'a) касающейся стороны BC, можно найти по формуле: $r'a = \frac{K}{s-a},$ где $K$ - площадь треугольника, $s$ - полупериметр треугольника, $a$ - длина стороны BC.

3. Расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей (d) можно найти как разницу между радиусами: $d = r - r'a.$

Для начала, нам нужно найти длины сторон треугольника ABC. Так как угол C = 90°, а угол A = 60°, то это означает, что угол B = 30°.

Соответственно, длины сторон можно найти следующим образом: AC = 12 (дано) AB = AC * tan(30°) = 12 * √3 / 3 = 4√3 BC = AC * tan(60°) = 12 * √3 = 12√3

Теперь можем найти радиус вписанной окружности: r = (AB + BC - AC) / 2 = (4√3 + 12√3 - 12) / 2 = 8√3 - 6.

Площадь треугольника: K = 0.5 * AB * AC = 0.5 * 4√3 * 12 = 24√3.

Полупериметр треугольника: s = (AB + AC + BC) / 2 = (4√3 + 12 + 12√3) / 2 = 8√3 + 6.

Теперь можем найти радиус вневписанной окружности, касающейся стороны BC: r'a = K / (s - a) = 24√3 / (8√3 + 6 - 12) = 6√3.

И, наконец, расстояние между центрами окружностей: d = r - r'a = (8√3 - 6) - 6√3 = 2√3 - 6.

Итак, расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностей равно $2√3 - 6$.