Question

Точки M и N- середины сторон BC и AD параллелограмма ABCD. Докажите что прямые BN и MD делят диагональ AC на три равные части​

Answer 1

Объяснение:

Дано: ABCD - параллелограмм;

AN=ND; BM=MC

Доказать: AE=EF=FC

Доказательство:

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Рассмотрим ΔABD.

AN=ND (условие)

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

BO=OD

⇒ AO; BN - медианы.

Пусть ЕО = а, ⇒ АЕ = 2а.

Рассмотрим ΔВСD.

BM=MC (условие)

ВО=ОD (свойство параллелограмма)

⇒ DМ; СО - медианы.

Так как АО=ОС ⇒OF=a; FC = 2a.

Получили: AE=EF=FC=2а.

Answer 2

Для доказательства того, что прямые BN и MD делят диагональ AC на три равные части, мы можем использовать свойство параллелограмма, что диагонали делятся пополам.

Обозначим точку пересечения прямых BN и MD как точку P.

Так как M и N являются серединами сторон BC и AD соответственно, то мы можем сказать, что:

BM = MC, (1) DN = NA. (2)

Также, как диагонали параллелограмма делятся пополам, мы можем сказать, что:

AP = PC, (3) BP = PD. (4)

Рассмотрим треугольники ABP и CDP.

В треугольнике ABP: AP = PC (из (3)), BP = PD (из (4)), BN - общая сторона.

Таким образом, треугольник ABP и треугольник CDP являются равными (по двум сторонам и общему углу), и у них равны соответствующие углы.

Из равенства углов следует, что BP || CD.

Теперь рассмотрим треугольники DMP и BNP.

В треугольнике DMP: BM = MC (из (1)), BP || CD (установлено выше), BN - общая сторона.

Таким образом, треугольник DMP и треугольник BNP являются равными (по двум сторонам и общему углу), и у них равны соответствующие углы.

Из равенства углов следует, что MP || BN.

Таким образом, мы получили, что BP || CD и MP || BN. Значит, BN и MP являются параллельными прямыми.

Теперь рассмотрим треугольник BPC.

BN || MP (установлено выше), BP || CD (установлено выше), BN = MP (так как M и N являются серединами соответствующих сторон).

Из этих фактов следует, что треугольник BPC - это треугольник, в котором параллельные стороны равны (BN || MP и BP || CD) и у которого соответствующие стороны равны (BN = MP).

Таким образом, треугольник BPC является равносторонним треугольником.

Теперь рассмотрим отношение длин отрезков на диагонали AC.

AP = PC (из (3)), BP = PD (из (4)), треугольник BPC - равносторонний (установлено выше).

Это означает