Question

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AB=4, AD=3, AA1=5. Найдите угол между плоскостью ABCD и прямой BD1. Ответ дайте в градусах.

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\angle D_{1}DB=45^{\circ}}$

Объяснение:

Дано: $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ - прямоугольный параллелепипед, $AA_{1} = 5$,

AB = 4, AD = 3

Найти: $\angle (BD_{1}, ABCD)$ - ?

Решение: Так как по условию $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ - прямоугольный параллелепипед, то по свойствам прямоугольного параллелепипеда $D_{1}D \perp ADC$, тогда $D_{1}D \perp BD$ по следствию определению перпендикулярности прямой плоскости, так как $BD \subset ADC$. Тогда точка $D_{1}$ проектируется в точку $D$ и треугольник Δ$D_{1}DB$ - прямоугольный.

Так как по условию $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ - прямоугольный параллелепипед, то по определению его гранями являются прямоугольники. Так как ABCD - прямоугольник, то по свойствам прямоугольника все его углы 90°, тогда угол ∠DAB = 90°. По теореме Пифагора для треугольника ΔDAB (∠DAB = 90°): $BD = \sqrt{AD^{2}+AB^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2} } = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Так как $AA_{1}D_{1}D$ - прямоугольник, то по свойствам прямоугольника его противоположные стороны равны, тогда $AA_{1} = DD_{1} = 5$. Рассмотрим прямоугольный треугольника Δ$D_{1}BD$ ($D_{1}D \perp BD$).

$tg\ \angle D_{1}DB = \dfrac{D_{1}D}{DB} = \dfrac{5}{5} = 1$.

$\angle D_{1}DB = arctg(tg\ \angle D_{1}DB) = arctg(1) = 45^{\circ}$.

Answer 2

Чтобы найти угол между плоскостью ABCD и прямой BD1, нам потребуется найти нормаль к плоскости ABCD и направляющий вектор прямой BD1. Затем мы можем использовать скалярное произведение для вычисления угла между нормалью плоскости и направляющим вектором прямой.

1. Найдем нормаль к плоскости ABCD: Нормаль к плоскости можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Например, возьмем векторы AB и AD.

AB = B - A = (0, 4, 0) AD = D - A = (-3, 0, 0)

Теперь найдем их векторное произведение:

N = AB x AD N = (4 * 0 - 0 * (-3), 0 * 0 - 0 * 0, 0 * (-3) - 4 * 0) N = (0, 0, 0)

Вектор нормали получился нулевым, что означает, что плоскость ABCD вырожденная и на самом деле это не плоскость, а прямая.

2. Найдем направляющий вектор прямой BD1: BD1 = D1 - B = (0, 0, 0) - (0, 4, 1) = (0, -4, -1)

3. Вычислим угол между нормалью плоскости и направляющим вектором прямой с помощью скалярного произведения:

cos(θ) = (N * BD1) / (||N|| * ||BD1||) где * - скалярное произведение, || || - длина вектора.

Учитывая, что длина вектора нормали N равна нулю (так как N = (0, 0, 0)), формула сокращается:

cos(θ) = 0 / (0 * ||BD1||) = 0

Это означает, что косинус угла θ равен 0, и следовательно, угол между плоскостью ABCD и прямой BD1 равен 90 градусов (π/2 радиан).

Таким образом, угол между плоскостью ABCD и прямой BD1 равен 90 градусам.