Question

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S точки M и N расположены соотвественно на ребрах AD и SB так, что AM : MD = 1 : 3, SN : NB = 1 : 2. Отрезок MN пересекается с плоскостью ASC в точке P. Найдите отношение MP : PN.​

Answer 1

..........................................................

Answer 2

Для нахождения отношения MP : PN в четырехугольной пирамиде SABCD сначала найдем координаты точек M, N и P в трехмерном пространстве, а затем используем их для расчета искомого отношения.

Пусть точка S имеет координаты (0, 0, 0), и давайте предположим, что сторона AB имеет длину 6 (это произвольное предположение, которое не влияет на расчеты).

Теперь рассмотрим положение точек M и N. По условию, AM : MD = 1 : 3, что означает, что точка M находится на отрезке AD, разделенном в отношении 1 : 3. Таким образом, координаты точки M будут:

M(xM, yM, zM) = (0 + (1/4) * 6, 0, 0) = (3/2, 0, 0)

Аналогично, поскольку SN : NB = 1 : 2, то координаты точки N будут:

N(xN, yN, zN) = (0, 0 + (1/3) * 6, 0) = (0, 2, 0)

Теперь нам нужно найти координаты точки P, в которой отрезок MN пересекается с плоскостью ASC. Для этого можно воспользоваться параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точки M и N.

Параметрическое уравнение прямой:

x = xM + t(xN - xM) y = yM + t(yN - yM) z = zM + t(zN - zM)

Где t - параметр, который можно найти из условия пересечения с плоскостью ASC.

Плоскость ASC можно описать уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Для этой плоскости мы можем найти нормальный вектор (A, B, C), который будет перпендикулярен плоскости.

Теперь, чтобы найти точку пересечения P, подставим уравнение прямой в уравнение плоскости и решим относительно параметра t:

A(xM + t(xN - xM)) + B(yM + t(yN - yM)) + C(zM + t(zN - zM)) + D = 0

Подставляем известные значения и решаем относительно t:

A(3/2 + t(0 - 3/2)) + B(0 + t(2 - 0)) + C(0 + t(0 - 0)) + D = 0

(3/2)(-At) + 2Bt + D = 0

Теперь мы можем выразить t:

t = -2D / (3A - 4B)

Теперь, когда у нас есть значение t, мы можем найти координаты точки P, подставив его в параметрические уравнения прямой:

xP = 3/2 - 2D / (3A - 4B) * (0 - 3/2) yP = 0 + 2 * (-2D / (3A - 4B)) * (2 - 0) zP = 0 + 0 * (-2D / (3A - 4B)) * (0 - 0)

Теперь, чтобы найти отношение MP : PN, нужно найти длины отрезков MP и PN и поделить их друг на друга.

MP = sqrt((xP - xM)^2 + (yP - yM)^2 + (zP - zM)^2) PN = sqrt((xN - xP)^2 + (yN - yP)^2 + (zN - zP)^2)

Подставляем найденные координаты точек и вычисляем длины:

MP = sqrt((3/2 + 2D / (3A - 4B))^2 + (4D / (3A - 4B))^2) PN = sqrt((3/2 - 2D / (3A - 4B))^2 + (2 - 2 * (-2D / (3A - 4B)))^2)

Теперь, чтобы найти отношение MP : PN, делим длину MP на длину PN:

MP : PN = MP / PN = [sqrt((3/2 + 2D / (3A - 4B))^2 + (4D / (3A - 4B))^2)] / [sqrt((3/2 - 2D / (3A - 4B))^2 + (2 - 2 * (-2D / (3A - 4B)))^2)]

Это будет ответ, который можно упростить, если вам известны значения коэффициентов A, B и D, которые определяют плоскость ASC.