Question

В правильной четырехугольном пирамиде апофема равна ,а боковая грань образует с плоскостью основания угол 45° . Найти объем пирамиды. С рисунком, если можно.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Апофема - высота боковой грани пирамиды образует с высотой пирамиды и половиной основания прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой - 5√2 (апофема) и равными катетами (высота и половина длины стороны основания). По т. Пифагора h=5 ед, сторона квадрата основания - 10 ед;

V=S*h/3=10²*5/3=500/3 ед³.

Answer 2

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды (или тетраэдра) мы можем использовать следующую формулу:

V = (1/3) * S * h

где: V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

В данном случае, нам известно, что боковая грань образует с плоскостью основания угол 45°. Это означает, что боковая грань является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Давайте обозначим сторону основания пирамиды как a, а высоту пирамиды как h. Поскольку боковая грань равнобедренный прямоугольный треугольник, то длина его основания равна a, а его высота будет h/2 (половина высоты пирамиды).

Теперь мы можем найти площадь основания пирамиды, которая является квадратом со стороной a:

S = a^2

Также мы знаем, что боковая грань образует угол 45° с плоскостью основания, поэтому в этом равнобедренном треугольнике два его угла равны по 45°. Это означает, что он является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину одной из боковых сторон (пусть это будет b):

b^2 = a^2 + a^2 b^2 = 2a^2 b = sqrt(2) * a

Теперь мы можем найти высоту пирамиды h, используя тот факт, что боковая грань является равнобедренным треугольником:

h^2 = (h/2)^2 + b^2 h^2 = (h^2/4) + (2a^2) 3h^2/4 = 2a^2 h^2 = (4/3) * 2a^2 h = sqrt((8/3)) * a

Теперь мы можем выразить площадь основания S и высоту h через апофему r (радиус вписанной сферы):

r = a/2 a = 2r

Таким образом:

S = (2r)^2 = 4r^2 h = sqrt((8/3)) * 2r = (2/3) * sqrt(6) * r

Теперь мы можем найти объем V:

V = (1/3) * S * h V = (1/3) * 4r^2 * ((2/3) * sqrt(6) * r) V = (8/9) * sqrt(6) * r^3

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен:

V = (8/9) * sqrt(6) * r^3

Это и есть ответ. Необходимо знать значение апофемы r, чтобы вычислить объем пирамиды.