Question

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 96 см2, а площадь полной поверхности 112 см2. Найдите стороны оснований и высоту пирамиды.​

Answer 1

Дано:

ABCS - правильная треугольная пирамида

SO - высота пирамиды        SO⊥(ABC)

Sбок = 96 см²

Sполн = 112 см²

-----------------------------

Найти:

AB - ?

SO - ?

Решение:

1) Сначала запишем формулу площадь полной поверхности пирамиды, именно по такой формуле мы найдем площадь основания:

Sполн = Sбок + Sосн - Площадь полной поверхности пирамиды ⇒

Sосн = Sполн - Sбок = 112 см² - 96 см² = 16 см²

2) Поскольку треугольная пирамида правильная, то в основе лежит правильный треугольник. Следовательно, мы найдем сторону его основания:

$S_{ocn} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}AB^{2}$ - Площадь основания правильной пирамиды

$AB = \sqrt{\frac{4*S_{ocn}}{\sqrt{3}}}$ - Сторона его основания

AB = √4×16 см²/√3 = √64 см²/√3 × √3/√3 = √64√3 см²/3 = $\frac{8\sqrt{\sqrt{3}}cm}{\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt[4]{3}\sqrt{3}cm} {3}=\frac{8\sqrt[4]{3}\sqrt[4]{3^{2}}cm}{3}=\frac{8\sqrt[4]{27}}{3}cm$

3) Далее находим радиус вписанной окружности основания:

AB = MO×2√3 - нахождение стороны основания.

MO = AB/2√3 - радиус вписанной окружности основания

MO = $\frac{\frac{8\sqrt[4]{27}}{3}cm}{2\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{8\sqrt[4]{27}\sqrt[4]{3^{2}}}{3}cm}{2*3}=\frac{\frac{8\sqrt[4]{27*9}}{3}cm}{6} = \frac{\frac{8\sqrt[4]{243}}{3}cm}{6}=\frac{\frac{8\sqrt[4]{81*3}}{3}cm}{6}=\frac{\frac{8*3\sqrt[4]{3}}{3}cm}{6}=\frac{8\sqrt[4]{3}cm}{6}=\frac{4\sqrt[4]{3}}{3}cm$

4) Далее находим площадь грани:

Sбок = 3Sграни ⇒ Sграни = Sбок/3 = 96 см²/3 = 32 см², тогда высота грани:

SM = 2Sграни/AB - Высота с площадью грани

$SM = \frac{2*32cm^{2}}{\frac{8\sqrt[4]{27}}{3}cm}=\frac{24}{\sqrt[4]{27}}cm*\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}=\frac{24\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{81}}cm=\frac{24\sqrt[4]{3}}{3}cm = 8\sqrt[4]{3}cm$

5) И теперь находим высоту SO по теореме Пифагора:

SO = √SM² - MO² - нахождение высоты SO

$SO = \sqrt{(8\sqrt[4]{3}cm)^{2}-(\frac{4\sqrt[4]{3}}{3}cm)^{2}} = \sqrt{64\sqrt{3}cm^{2}-\frac{16\sqrt{3}}{3}cm^{2}}=\sqrt{\frac{560\sqrt{3}}{9}cm^{2}}=\frac{\sqrt{560\sqrt{3}}}{3}cm = \frac{\sqrt{16*35\sqrt{3}}}{3}cm=\frac{4\sqrt{35\sqrt{3}}}{3}cm=\frac{4\sqrt{\sqrt{35^{2}}*\sqrt{3}}}{3}cm = \frac{4\sqrt{\sqrt{1225*3}}}{3}cm = \frac{4\sqrt{\sqrt{3675}}}{3}cm = \frac{4\sqrt[4]{3675}}{3}cm$

Ответ: $AB = \frac{8\sqrt[4]{27}}{3}cm$  $SO = \frac{4\sqrt[4]{3675}}{3}cm$

P.S.

Рисунок показан внизу:↓

Answer 2

Давайте обозначим стороны основания правильной треугольной пирамиды как "a" и высоту пирамиды как "h". Площадь боковой поверхности пирамиды можно выразить следующим образом:

Площадь боковой поверхности = (периметр основания * высота) / 2

Поскольку у нас правильная треугольная пирамида, периметр основания равен 3 * a (так как у треугольника 3 стороны). Таким образом, мы можем записать:

96 см² = (3a * h) / 2

Теперь давайте найдем площадь полной поверхности пирамиды. Эта площадь включает в себя боковую поверхность плюс площадь трех треугольных оснований. Площадь одного треугольного основания можно найти как (a * a * √3) / 4 (площадь равностороннего треугольника). Таким образом, площадь полной поверхности можно записать как:

Площадь полной поверхности = Площадь боковой поверхности + 3 * [(a * a * √3) / 4]

112 см² = 96 см² + 3 * [(a * a * √3) / 4]

Теперь выразим a из уравнения для площади полной поверхности:

16 см² = (a * a * √3) / 4

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от деления:

64 см² = a * a * √3

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(64 см²)² = (a * a * √3)²

4096 см⁴ = 3a⁴

Теперь извлечем корень четвертой степени из обеих сторон:

√(4096 см⁴) = √(3a⁴)

64 см² = a²

Теперь найдем значение "a":

a = √(64 см²) = 8 см

Теперь, когда мы знаем сторону основания "a", мы можем использовать уравнение для площади боковой поверхности, чтобы найти высоту "h":

96 см² = (3 * 8 см * h) / 2

Упростим это уравнение:

96 см² = 12 см * h

h = 96 см² / 12 см = 8 см

Таким образом, стороны основания равны 8 см, а высота пирамиды равна 8 см.