Question

Напишіть рівняння прямої яка симетрична прямій 2х+у-6=0 відносно а) початку координат. б) точки k (1; 1) побудуйте дані прямі і доведіть що вони паралельні​

Answer 1

Відповідь:

a) Щоб знайти рівняння симетричної прямої відносно початку координат, потрібно замінити x на -x та y на -y в рівнянні даної прямої. Таким чином, маємо:

2(-x) + (-y) - 6 = 0

-2x - y + 6 = 0

Рівняння шуканої прямої: -2x - y + 6 = 0.

б) Щоб знайти рівняння симетричної прямої відносно точки k(1;1), спочатку потрібно знайти середину між точкою k та точкою перетину заданої прямої з осю y (точка (0;6)). Знаходження середини здійснюється за формулами:

x0 = (x1 + x2) / 2

y0 = (y1 + y2) / 2

де (x1; y1) - координати точки k, (x2; y2) - координати точки перетину з осю y. Підставляємо значення та отримуємо:

x0 = (1 + 0) / 2 = 0.5

y0 = (1 + 6) / 2 = 3.5

Отже, середина між точками k та (0;6) має координати (0.5;3.5).

Далі, знаходимо нахил заданої прямої:

2x + y - 6 = 0

y = -2x + 6

Отже, нахил даної прямої дорівнює -2.

Тепер, щоб знайти нахил симетричної прямої, потрібно знайти нахил прямої, яка проходить через точки k та їх середину. Використовуючи формулу нахилу прямої:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

знаходимо:

m = (3.5 - 1) / (0.5 - 1) = -5.5

Отже, нахил симетричної прямої дорівнює -5.5.

Так як дві прямі паралельні, якщо мають однаковий нахил, то можемо стверджувати, що задана пряма та симетрична до неї пряма є паралельними.

Answer 2

а) Щоб знайти рівняння прямої, яка симетрична до прямої 2х + у - 6 = 0 відносно початку координат, спочатку потрібно знайти середину відрізка, який з'єднує початок координат (0,0) з точкою перетину прямої 2х + у - 6 = 0 з віссю ординат (0, -6).

Для цього, розв'яжемо систему рівнянь: 2х + у - 6 = 0 x = 0

Підставимо значення x = 0 у перше рівняння: 2(0) + у - 6 = 0 у - 6 = 0 у = 6

Таким чином, точка середини відрізка - це (0, 6).

Тепер, використовуючи точку середини відрізка, можемо знайти рівняння прямої, симетричної до даної прямої відносно початку координат. Вектор, який з'єднує початок координат з точкою середини відрізка, має напрямок протилежний до вектора, що з'єднує початок координат з точкою перетину прямої 2х + у - 6 = 0 з віссю ординат.

Вектор, що з'єднує (0,0) та (0,6), може бути представлений як (0,6) - (0,0), що дає вектор (-0,6).

Тому, щоб знайти рівняння прямої, симетричної до прямої 2х + у - 6 = 0 відносно початку координат, ми можемо використати вектор (-0,6) і точку (0,6). Використовуючи формулу рівняння прямої, отримаємо:

y - 6 = -0,6(x - 0)

y - 6 = -0,6x

б) Щоб побудувати пряму, симетричну до прямої 2х + у - 6 = 0 відносно точки k (1, 1), ми можемо використати ту саму логіку, що й в попередньому пункті.

Спочатку знайдемо середину відрізка, який з'єднує точку k (1, 1) з точкою перетину прямої 2х + у - 6 = 0 з віссю ординат (0, -6).

Для цього, розв'яжемо систему рівнянь: 2х + у - 6 = 0 x - 1 = 0

Підставимо значення x = 1 у перше рівняння: 2(1) + у - 6 = 0 2 + у - 6 = 0 у - 4 = 0 у = 4

Таким чином, точка середини відрізка - це (1, 4).

Тепер, використовуючи точку середини відрізка, можемо знайти рівняння прямої, симетричної до даної прямої відносно точки k (1, 1). Вектор, який з'єднує точку k (1, 1) з точкою середини відрізка, має напрямок протилежний до вектора, що з'єднує точку k (1, 1) з точкою перетину прямої 2х + у - 6 = 0 з віссю ординат.

Вектор, що з'єднує (1,1) та (1,4), може бути представлений як (1,4) - (1,1), що дає вектор (0,3).

Тому, щоб знайти рівняння прямої, симетричної до прямої 2х + у - 6 = 0 відносно точки k (1, 1), ми можемо використати вектор (0,3) і точку (1,4). Використовуючи формулу рівняння прямої, отримаємо:

y - 4 = 0,3(x - 1)

y - 4 = 0,3x - 0,3

y = 0,3x + 3,7

Щоб довести, що ці дві прямі паралельні, ми можемо порівняти їх коефіцієнти при x. У рівнянні 2х + у - 6 = 0 коефіцієнт при x дорівнює 2, а в рівнянні y = 0,3x + 3,7 коефіцієнт при x дорівнює 0,3. Ці коефіцієнти не рівні, тому прямі 2х + у - 6 = 0 та y = 0,3x + 3,7 є паралельними.