Question

Дам 80 баллов за решение!!! ABCD - квадрат со стороной, равной α, BM ⊥ ABC, BM = α. Найдите двугранный угол, образованный гранями AMD и CMD.

Answer 1

ABCD - квадрат со стороной, равной α, BM ⊥ ABC, BM = α. Найдите двугранный угол, образованный гранями AMD и CMD.

Объяснение:

1) Пусть АР⊥MD,  соединим Р и С.

Т.к. АВ⊥AD, то по т. о трех перпендикулярах МА⊥AD⇒ΔAMD-прямоугольный. Т.к. ВС⊥СD, то по т. о трех перпендикулярах МС⊥CD ⇒ΔCMD-прямоугольный

2) Прямоугольные ΔAMD=ΔCMD по катету ( AD=CD стороны квадрата) и гипотенузе (MD--общая), значит и СР⊥MD, Поэтому ∠АРС-линейный угол двугранного , образованный гранями AMD и CMD.

3 ) Применим т. косинусов для ΔАРС :

АС²=АР²+РС²-2*АР*РС*cos∠APC. Найдем отрезки АС, АР, РС.

4) Из ΔАВС , АС²=2а² , АС=а√2.

Из ΔАВМ , АМ²=2а² , АМ=а√2.

Из ΔАМD , DM²=2а²+a² , DM²=3a²  ,DM=a√3 .

ΔADM подобен ΔPDA  по 2-м углам : ∠D-общий , ∠МАD=∠APD=90°, значит сходственные стороны пропорциональны  $\frac{AD}{DM} =\frac{AP}{AM}$ ,

АР=(AD*AM):DM=(а*а√2) :a√3=a*$\sqrt{\frac{2}{3} }$ .

ΔADP=ΔCDP как прямоугольные по катету и гипотенузе⇒РС=a*$\sqrt{\frac{2}{3} }$ .

4) "Закидываем " найденные значения в АС²=АР²+РС²-2*АР*РС*cos∠APC.

(а√2)²=2*(a*$\sqrt{\frac{2}{3} }$ )²-2*(a*$\sqrt{\frac{2}{3} }$ ) cos∠APC ,

2a²=2a² *$\frac{2}{3}$ -2a² * $\frac{2}{3}$ *cos∠APC ,

1=  $\frac{2}{3}$ (1 - cos∠APC) ,   cos∠APC= -0,5   ,∠APC=120° .

Answer 2

Чтобы найти двугранный угол, образованный гранями AMD и CMD, давайте начнем с построения данной ситуации.

У нас есть квадрат ABCD со стороной α. Мы также знаем, что BM ⊥ ABC и BM = α. Давайте обозначим точку M как середину стороны BC квадрата. Таким образом, диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке M.

Теперь рассмотрим треугольник AMD. Мы знаем, что AM = MD, так как они оба равны половине диагонали квадрата, то есть AM = MD = α/2. Также у нас есть грань AMD.

Теперь рассмотрим треугольник CMD. Мы знаем, что MC = MB + BC = α + α = 2α, так как BM = α, и BC - это одна из сторон квадрата. Также у нас есть грань CMD.

Теперь у нас есть два треугольника AMD и CMD с известными сторонами:

1. В треугольнике AMD: AM = MD = α/2, AD = α (так как это одна из сторон квадрата).

2. В треугольнике CMD: CM = 2α, CD = α (так как это одна из сторон квадрата).

Мы можем использовать закон косинусов, чтобы найти угол между гранями AMD и CMD. Формула закона косинусов выглядит следующим образом:

cos(угол) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab),

где a, b и c - длины сторон треугольника.

Для треугольника AMD: a = α/2, b = α, c = α (по теореме Пифагора).

cos(угол AMD) = (α^2/4 + α^2 - α^2) / (2 * (α/2) * α) = (α^2/4 + α^2 - α^2) / (α^2) = (α^2 - α^2) / (4α^2) = 0 / (4α^2) = 0.

Теперь мы знаем, что cos(угол AMD) = 0.

Для треугольника CMD: a = 2α, b = α, c = α (по теореме Пифагора).

cos(угол CMD) = (4α^2 + α^2 - α^2) / (2 * 2α * α) = (4α^2 + α^2 - α^2) / (4α^2) = (4α^2) / (4α^2) = 1.

Теперь мы знаем, что cos(угол CMD) = 1.

Таким образом, двугранный угол между гранями AMD и CMD равен углу, косинус которого равен 1. Этот угол равен 0 градусов.

Итак, двугранный угол, образованный гранями AMD и CMD, равен 0 градусов.