Question

Диагонали четырехуольника перпендикулярны. Докажите, что его площадь равна половине произведения диагоналей​

Answer 1

Доказательство:

По теореме в выпуклом четырёхугольнике S = 1/2 • d1 • d2 • sinα, где α - угол между диагоналями.

Если диагонали четырёхуольника взаимно перпендикулярны, то α = 90°, sinα = 1, тогда

S = 1/2 • d1 • d2 • 1 = S = 1/2•d1•d2, что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим четырёхугольник ABCD с перпендикулярными диагоналями AC и BD, а также пусть точка пересечения диагоналей обозначается как O. Нам нужно доказать, что площадь этого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.

Для начала обратим внимание на то, что четырёхугольник ABCD можно разделить на два треугольника: ABO и CDO, как показано на рисунке:

cssCopy code
       A-----------B
        |         |
        |         |
        |         |
        |         |
        |         |
       D-----------C

Теперь давайте рассмотрим площади этих двух треугольников:

1. Площадь треугольника ABO (S_ABO): S_ABO = (1/2) * AB * AO

2. Площадь треугольника CDO (S_CDO): S_CDO = (1/2) * CD * CO

Теперь, если мы сложим эти две площади, получим площадь всего четырёхугольника ABCD:

S_ABCD = S_ABO + S_CDO

Теперь давайте выразим AO и CO через диагонали AC и BD, используя то, что диагонали перпендикулярны:

AO = 0.5 * AC CO = 0.5 * BD

Подставив эти выражения в формулы для площадей треугольников:

S_ABO = (1/2) * AB * (0.5 * AC) = (1/4) * AB * AC S_CDO = (1/2) * CD * (0.5 * BD) = (1/4) * CD * BD

Теперь сложим их:

S_ABCD = S_ABO + S_CDO S_ABCD = (1/4) * AB * AC + (1/4) * CD * BD

Теперь, объединяя коэффициенты (1/4) и факторизируя их, получим:

S_ABCD = (1/4) * (AB * AC + CD * BD)

Заметим, что выражение в скобках (AB * AC + CD * BD) равно произведению диагоналей AC и BD:

AB * AC + CD * BD = AC * BD

Итак, мы получаем:

S_ABCD = (1/4) * (AC * BD)

Теперь, если мы умножим обе стороны на 4, получим:

4 * S_ABCD = AC * BD

Но мы хотим найти площадь S_ABCD, поэтому делим обе стороны на 4:

S_ABCD = (1/4) * (AC * BD)

Итак, мы доказали, что площадь четырёхугольника ABCD равна (1/4) произведения диагоналей AC и BD. Чтобы получить площадь в исходной формулировке, умножим обе стороны на 4:

4 * S_ABCD = AC * BD

S_ABCD = (1/4) * (AC * BD)

Таким образом, площадь четырёхугольника ABCD равна половине произведения его диагоналей AC и BD. Это и доказывает утверждение.