Question

В треугольнике с вершинами в точках А(1;0;1), В(-1;3;0) и С(3;4;-5) найти косинус внутреннего угла при вершине А.

Answer 1

Дан треугольник с вершинами в точках А(1;0;1), В(-1;3;0) и С(3;4;-5).

Находим векторы АВ и АС и их модули.

АВ = (-1-1; 3-0; 0-1) = (-2; 3; -1), |AB| = √(4+9+1) = √14.

АC = (3-1; 4-0; -5-1) = (2; 4; -6), |AB| = √(4+16+36) = √56  = 2√14.

Теперь находим косинус угла А.

cos A = (-2*2+3*4+(-1)*(-6)/(√14*2√14) = 14/(2*14) = 1/2.

Answer 2

Для того чтобы найти косинус внутреннего угла при вершине A в треугольнике ABC, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите векторы AB и AC, которые начинаются в точке A и направлены к точкам B и C соответственно.
2. Вычислите скалярное произведение векторов AB и AC.
3. Вычислите длины векторов AB и AC.
4. Используйте формулу для косинуса угла между векторами:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}{\|\mathbf{AB}\| \|\mathbf{AC}\|}$

Где:

• $\mathbf{AB}$ - вектор AB.
• $\mathbf{AC}$ - вектор AC.
• $\|\mathbf{AB}\|$ - длина вектора AB.
• $\|\mathbf{AC}\|$ - длина вектора AC.
• $\theta$ - угол между векторами AB и AC.

Давайте начнем с вычисления векторов AB и AC:

$\mathbf{AB} = \begin{bmatrix} -1 - 1 \\ 3 - 0 \\ 0 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}$

$\mathbf{AC} = \begin{bmatrix} 3 - 1 \\ 4 - 0 \\ -5 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ -6 \end{bmatrix}$

Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и AC:

$\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = (-2) \cdot 2 + 3 \cdot 4 + (-1) \cdot (-6) = -4 + 12 + 6 = 14$

Теперь вычислим длины векторов AB и AC:

$\|\mathbf{AB}\| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

$\|\mathbf{AC}\| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56}$

Теперь мы можем вычислить косинус угла $\theta$:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}{\|\mathbf{AB}\| \|\mathbf{AC}\|} = \frac{14}{\sqrt{14} \sqrt{56}} = \frac{14}{\sqrt{14} \cdot 2\sqrt{14}} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$

Итак, косинус внутреннего угла при вершине A в треугольнике ABC равен $\frac{1}{2}$.