Question

Один із гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 60°, а сума меншого катета і гіпотенузи дорівнює 9 см. Визнач довжину меншого катета. 1. Величина другого гострого кута дорівнює: ° 2. Довжина меншого катета дорівнює: см

Answer 1

Відповідь:

1. 30

2. 2

Пояснення:

Один з кутів прямокутного тр-ка 60, тому інший 30. Звідси довжина меншого катета х, а гіпотенуза 2х. Складемо рівняння

х+2х=9, тому менший катет 3

Answer 2

Нехай $A, B,$ і $C$ - вершини прямокутного трикутника, де $\angle A = 90^\circ$, а $\angle B = 60^\circ$. Також, позначимо катети як $AB$ (менший катет) і $BC$, а гіпотенузу - як $AC$.

1. Знаємо, що сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180 градусів. Таким чином, величина третього кута ($\angle C$) визначається як $\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

2. Також нам дано, що сума меншого катета ($AB$) і гіпотенузи ($AC$) дорівнює 9 см. Математично це можна виразити як:

   $AB + AC = 9 \, \text{см}$

   Тепер давайте використаємо факт, що в трикутнику відношення довжини катету до гіпотенузи визначається тангенсом кута між катетом і гіпотенузою. Для трикутника $ABC$ це буде:

   $\tan(\angle B) = \frac{AB}{AC}$

   Підставимо відомі значення:

   $\tan(60^\circ) = \frac{AB}{AC}$

   Розв'яжемо це рівняння відносно $AB$ (менший катет).

   Пам'ятайте, що $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

   $\sqrt{3} = \frac{AB}{AC}$

   $AB = AC \cdot \sqrt{3}$

   Тепер ми можемо підставити це значення в рівняння з сумою катета і гіпотенузи:

   $AC \cdot \sqrt{3} + AC = 9$

   $AC \cdot (\sqrt{3} + 1) = 9$

   $AC = \frac{9}{\sqrt{3} + 1}$

   Раціоналізуємо цей дріб, множачи обидва чисельник і знаменник на $\sqrt{3} - 1$:

   $AC = \frac{9}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}$

   $AC = \frac{9(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1}$

   $AC = \frac{9(\sqrt{3} - 1)}{2}$

   $AC = \frac{9\sqrt{3} - 9}{2}$

   $AC = \frac{9}{2} \sqrt{3} - \frac{9}{2}$

Тепер, коли ми знаходимо значення $AC$, можемо визначити $AB$ (менший катет):

$AB = AC \cdot \sqrt{3}$

$AB = \left( \frac{9}{2} \sqrt{3} - \frac{9}{2} \right) \cdot \sqrt{3}$