Question

Около окружности радиусом З описана равнобедренная трапеция ABCD (AD - большее основание), площадь которой равна 39. а)Докажите, что синус угла при большем основании равен 12/13

Answer 1

Ответ:

Ответ во вложении

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства, что синус угла при большем основании трапеции ABCD равен 12/13, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Обозначим вершину равнобедренной трапеции как O, центр окружности как O, радиус окружности как R, длину большего основания как 2b, длину меньшего основания как 2a, и высоту трапеции как h.

2. Так как трапеция ABCD равнобедренная, то мы знаем, что её диагонали равны и перпендикулярны. Поэтому AO и BO - радиусы окружности, и они равны R.

3. Поскольку радиусы AO и BO одинаковы и перпендикулярны к стороне AD (большему основанию), то угол AOB является прямым углом.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, где AO и BO - катеты, а AB - гипотенуза. Мы хотим найти синус угла AOB, который равен отношению длины противолежащего катета (AB) к длине гипотенузы (R).

5. Из площади трапеции ABCD мы знаем, что S = (AD + BC) * h / 2 = (2b + 2a) * h / 2 = (2(b + a)) * h / 2 = (b + a) * h = 39.

6. Заметим, что b + a равно длине меньшего основания трапеции, то есть 2a.

7. Теперь мы можем выразить высоту h: h = 39 / (2a).

8. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB с катетами R и 2a и гипотенузой AB.

9. Используя теорему Пифагора, получим: AB^2 = R^2 + (2a)^2 = R^2 + 4a^2.

10. Выразим AB: AB = √(R^2 + 4a^2).

11. Теперь мы можем выразить синус угла AOB: sin(AOB) = (противолежащий катет) / (гипотенуза) = (2a) / √(R^2 + 4a^2).

12. Так как нам известно, что h = 39 / (2a), подставим это значение: sin(AOB) = (2a) / √(R^2 + 4a^2) = (2a) / √(4a^2 + R^2) = (2a) / √(4a^2 + R^2) * (1/2a) * (2a/2a) = (1/2) * √(4a^2 + R^2) / a.

13. Теперь мы видим, что sin(AOB) = (1/2) * √(4a^2 + R^2) / a. Нам дано, что площадь трапеции S = 39 и равна (b + a) * h = (2a) * (39 / 2a) = 39. Это значит, что 2a^2 = 39 и a^2 = 39/2.

14. Теперь мы можем выразить R^2, используя тождество Пифагора: R^2 = AB^2 - 4a^2 = (39/2 + 4a^2) - 4a^2 = 39/2.

15. Подставим значение R^2 в выражение для sin(AOB): sin(AOB) = (1/2) * √(4a^2 + R^2) / a = (1/2) * √(4a^2 + 39/2) / a = (1/2) * √(4a^2 + 4(39/2)) / a = (1/2) * √(4(a^2 + 39/2)) / a = (1/2) * √(4(a^2 + 39/2)) / a * (2/2) = √(a^2 + 39/2) / a.

16. Так как мы знаем, что a^2 = 39/2, подставим это значение: sin(AOB) = √(39/2 + 39/2) / √(39/2) = √(78/2) / √(39/2) = √(39) / √(39/2) = √(39) / (√39/√2) = √(39) / (√(39) * √2) = 1 / √2.

17. Упростим дальше: sin(AOB) = (1 / √2) * (√2 / √2) = 1 / 2.

Таким образом, мы видим, что sin(AOB) = 1 / 2, что не равно 12/13. Следовательно, утверждение о синусе угла при большем основании равнобедренной трапеции ABCD не подтверждается.