Question

Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке M.Найдите ∠C, если ∠AMB = 126⁰.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Биссектрисы углов делят их пополам.

Рассмотрим ΔАМВ.

∠АМВ = 126°. Т.к. сумма всех углов треугольника = 180°, то

∠ВАМ + ∠АВМ = 180° - 126° = 54°

Но ∠ВАМ = ½∠А, т.к. АК - биссектриса ∠А, а

∠АВМ = ½∠В, т.к. ВР - биссектриса ∠В. Тогда

½∠А + ½∠В = 54°

(∠А + ∠В) : 2 = 54° → ∠А + ∠В = 54° * 2 = 108°

Рассмотрим ΔАВС

∠А + ∠В + ∠С = 180°

∠С = 180° - ((∠А + ∠В) = 180° - 108° = 72°

Ответ: ∠С = 72°

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой о биссектрисе в треугольнике. Теорема о биссектрисе гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении к двум другим сторонам так, что отношение длины сегмента стороны к длине другой стороны равно отношению длины другой сегмента стороны к длине третьей стороны. Математически это можно записать следующим образом:

(BC / AC) = (BM / AM)

где BC - длина стороны BC, AC - длина стороны AC, BM - длина сегмента стороны BM, AM - длина сегмента стороны AM.

В данной задаче у нас есть следующие данные:

∠AMB = 126⁰ Мы хотим найти ∠C.

Пусть ∠BAC = α и ∠CAB = β. Тогда по теореме о сумме углов треугольника:

α + β + ∠C = 180⁰

Также, учитывая, что BM и MC являются биссектрисами углов B и C соответственно, мы можем использовать теорему о биссектрисе для выражения отношения длин сторон:

(BC / AC) = (BM / AM)

(BC / AC) = (BM / (BM + MC))

Мы знаем, что BM / AM = (∠AMB / 180⁰), поэтому:

(BC / AC) = (∠AMB / 180⁰)

Теперь мы можем подставить значение ∠AMB = 126⁰:

(BC / AC) = (126 / 180)

Упростим это отношение:

(BC / AC) = (7 / 10)

Теперь мы можем использовать это отношение для выражения длины стороны BC через длину стороны AC:

BC = (7 / 10) * AC

Теперь мы можем подставить это в уравнение треугольника:

α + β + ∠C = 180⁰

α + β + ∠C = 180⁰

α + β + (∠BAC + ∠CAB) = 180⁰

α + β + (∠BAC + ∠CAB) = 180⁰

Так как ∠BAC + ∠CAB = 180⁰ - ∠C (из уравнения треугольника), мы имеем:

α + β + (180⁰ - ∠C) = 180⁰

Подставляя значения α и β:

α = ∠CAB и β = ∠BAC

∠CAB + ∠BAC + (180⁰ - ∠C) = 180⁰

∠CAB + ∠BAC + 180⁰ - ∠C = 180⁰

∠CAB + ∠BAC - ∠C = 0

Теперь мы можем воспользоваться фактом, что ∠CAB + ∠BAC = 180⁰ - ∠C, чтобы упростить это уравнение:

(180⁰ - ∠C) - ∠C = 0

180⁰ - 2∠C = 0

2∠C = 180⁰

∠C = 180⁰ / 2

∠C = 90⁰

Итак, угол C в треугольнике ABC равен 90 градусов.