Question

В треугольнике ABC точка N -- середина стороны AB, а точка K на стороне BC --основание биссектрисы, проведённой из вершины A. Оказалось, что KB = KN. Найдите длину стороны BC и радиус вписанной в треугольник ABC окружности, если известно, что AC=11, AB=14.​

Answer 1

Ответ: ВС = 10, $r = \frac{\sqrt{39} }{2}$

 Объяснение:   Во вложении.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим длины сторон треугольника ABC следующим образом:

AC = 11 AB = 14 BC = x (мы хотим найти длину стороны BC)

Мы знаем, что точка N - середина стороны AB, поэтому AN = NB = 14 / 2 = 7.

Также известно, что KB = KN. Обозначим эту длину как KN = y. Теперь у нас есть два треугольника: треугольник AKB и треугольник CKB.

Из треугольника AKB мы можем использовать теорему Пифагора, так как у нас есть прямоугольный треугольник:

AK^2 + KN^2 = AN^2 AK^2 + y^2 = 7^2

Из треугольника CKB мы также можем использовать теорему Пифагора:

CK^2 + KB^2 = BC^2 CK^2 + y^2 = x^2

Теперь у нас есть два уравнения:

1. AK^2 + y^2 = 7^2
2. CK^2 + y^2 = x^2

Мы также знаем, что AK + CK = AC (сумма двух отрезков внутри треугольника равна его стороне):

AK + CK = 11

Теперь давайте решим эту систему уравнений. Сначала найдем AK и CK из последнего уравнения:

AK = 11 - CK CK = 11 - AK

Теперь подставим их в уравнения 1 и 2:

1. (11 - CK)^2 + y^2 = 7^2
2. CK^2 + y^2 = x^2

Теперь мы можем решить эту систему уравнений численно, чтобы найти значения CK, y и x. После этого, для нахождения радиуса вписанной окружности можно использовать формулу:

Площадь треугольника ABC = полупериметр * радиус вписанной окружности

Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу Герона:

Полупериметр (s) = (AB + BC + AC) / 2

Площадь треугольника ABC = √(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - AC))

Известно, что радиус вписанной окружности (r) равен:

r = Площадь треугольника ABC / s

Подставьте найденные значения AB, AC и x (BC) и найдите радиус r.

Этот метод позволит вам найти длину стороны BC и радиус вписанной в треугольник ABC окружности.

Answer 3

Давайте обозначим длину стороны BC как x. Теперь у нас есть несколько уравнений и возможности использовать теорему косинусов для нахождения длин сторон:

1. Известно, что AC = 11 и AB = 14.
2. По условию, KB = KN, так что BN = NK.

Теперь давайте рассмотрим треугольник BKN. Мы можем применить теорему косинусов к этому треугольнику:

cos(BKN) = (BN^2 + NK^2 - BK^2) / (2 * BN * NK)

Мы знаем, что BN = NK, поэтому:

cos(BKN) = (2 * BN^2 - BK^2) / (2 * BN^2)

cos(BKN) = (2 * BN^2 - x^2) / (2 * BN^2)

Теперь мы можем выразить cos(BKN) через угол BAC в большом треугольнике ABC, используя теорему косинусов:

cos(BAC) = (AC^2 + AB^2 - BC^2) / (2 * AC * AB)

Подставим известные значения:

cos(BAC) = (11^2 + 14^2 - x^2) / (2 * 11 * 14)

Теперь мы знаем, что в треугольнике ABC угол BAC делится напополам, поэтому:

cos(BAC) = cos(2 * BKN)

Используя тригонометрическую формулу:

cos(2 * θ) = 2 * cos^2(θ) - 1

Таким образом, мы можем записать:

2 * cos^2(BKN) - 1 = (11^2 + 14^2 - x^2) / (2 * 11 * 14)

2 * cos^2(BKN) = (11^2 + 14^2 - x^2) / (2 * 11 * 14) + 1

cos^2(BKN) = [(11^2 + 14^2 - x^2) / (2 * 11 * 14) + 1] / 2

Теперь мы можем найти cos(BKN):

cos(BKN) = sqrt{[(11^2 + 14^2 - x^2) / (2 * 11 * 14) + 1] / 2}

Теперь мы знаем cos(BKN), и мы также знаем, что BN = NK, поэтому можем использовать тригонометрические отношения, чтобы найти x:

cos(BKN) = BN / NK

sqrt{[(11^2 + 14^2 - x^2) / (2 * 11 * 14) + 1] / 2} = BN / NK

sqrt{[(11^2 + 14^2 - x^2) / (2 * 11 * 14) + 1] / 2} = 1

Теперь можно избавиться от квадратного корня:

[(11^2 + 14^2 - x^2) / (2 * 11 * 14) + 1] / 2 = 1

Теперь решите это уравнение относительно x:

(11^2 + 14^2 - x^2) / (2 * 11 * 14) + 1 = 2

11^2 + 14^2 - x^2 = 2 * 11 * 14

121 + 196 - x^2 = 308

317 - x^2 = 308

-x^2 = 308 - 317

-x^2 = -9

x^2 = 9

x = sqrt(9)

x = 3

Таким образом, длина стороны BC равна 3.

Теперь, чтобы найти радиус вписанной в треугольник ABC окружности, можно использовать формулу для радиуса вписанной окружности в зависимости от полупериметра и площади треугольника:

Полупериметр треугольника ABC (s) = (AB + BC + AC) / 2 = (14 + 3 + 11) / 2 = 14

Площадь треугольника ABC (A) можно найти с использованием полупериметра и формулы Герона:

A = sqrt(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - AC))

A = sqrt(14 * 3 * 11 * 3) = sqrt(1386)

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности (r):

r = A / s

r = sqrt(1386) / 14

Теперь мы можем вычислить значение радиуса r.