Question

В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BC и CA в точках P, Q и R.Найдите CR, если AB=53 см, BC=42 см, CA=65см.

Answer 1

Ответ:

СR=27 см

Объяснение:

найдем угол С по теореме косинусов

Сos∠C=(BC^2+AC^2-AB^2)/2BC*AC=(42^2+65^2-53^2)/2*42*65= 0.58

∠C=54.38°

Окружность вписанная в Δ лежит на пересечении биссектрис углов Δ

радиус окружности

r=√(p-a)(p-b)(p-c)/p=√(80-53)(80-42)(80-65)=13,9 см

p=(53+42+65)/2=80

СR=r/tg∠(C/2)=13.9/0.51=27 cм

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться тем фактом, что точки касания окружности с сторонами треугольника делят каждую сторону на две отрезка, и эти отрезки равны по длине. Таким образом, мы можем воспользоваться формулой:

$s = \frac{{a + b + c}}{2},$

где $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника, а $s$ - полупериметр треугольника.

Для заданного треугольника ABC с длинами сторон $a = 53$ см, $b = 42$ см и $c = 65$ см, сначала найдем полупериметр $s$:

$s = \frac{{53 + 42 + 65}}{2} = \frac{160}{2} = 80 \text{ см}.$

Теперь, используя равенство отрезков, можем найти длины отрезков $CR$ и $AR$. Пусть $x$ - длина отрезка $AR$ и $y$ - длина отрезка $CR$.

Используем формулу для площади треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности $r$:

$S = rs,$

где $r$ - радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника можно выразить через его стороны $a$, $b$ и $c$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$

Таким образом, мы имеем:

$rs = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$

Подставляя известные значения, получаем:

$r \cdot 80 = \sqrt{80(80-53)(80-42)(80-65)}.$

$r \cdot 80 = \sqrt{80 \cdot 27 \cdot 38 \cdot 15}.$

$r \cdot 80 = \sqrt{244800}.$

$r \cdot 80 = 495.76.$

Отсюда находим радиус вписанной окружности:

$r = \frac{495.76}{80} \approx 6.20 \text{ см}.$

Теперь можем воспользоваться тем, что треугольник CRP - равнобедренный (так как отрезки CR и RP равны, также как и CP и RQ), и применить теорему Пифагора:

$CR^2 = 2r^2 = 2 \cdot 6.20^2 = 76.48.$

Отсюда получаем:

$CR = \sqrt{76.48} \approx 8.74 \text{ см}.$

Таким образом, длина отрезка CR равна примерно 8.74 см.