Question

. В треугольной пирамиде PABC с вершиной Р боковые ребра попарно перпендикулярны, PA = 9 см, PB = 12 см, PC = 20 см.Найдите тангенс двугранного угла, образованного плоскостямиPAB и ABC.​

Answer 1

Объяснение:

Пусть РН⊥АВ , тогда по т. о 3-х перпендикулярах , СН⊥АВ ⇒ ∠СНР -линейный угол между плоскостями

( АВС) и (РАВ).

ΔСНР-прямоугольный , tg(∠CHP)=РС/НР , РС=20 см.

Ищем НР.

1) ΔАВР-прямоугольный , по т. Пифагора АВ=√(9²+12²)=15 ( см).

2) По метрическим соотношениям для прямоугольного треугольника

АР²=АН*АВ ⇒ АН=81/15=5,5 (см).

РН=√(9²-5,4²)=√51,84=7,2 ( см).

3) ΔСНР , tg(∠CHP)=20/7,2=25/9

Answer 2

Для нахождения тангенса двугранного угла, образованного плоскостями PAB и ABC в треугольной пирамиде PABC, мы можем воспользоваться следующей формулой:

$\tan(\theta) = \frac{2 \cdot \text{площадь треугольника PAB}}{\text{площадь треугольника ABC}}$

Сначала найдем площади треугольников PAB и ABC.

1. Площадь треугольника PAB можно найти, используя формулу для площади треугольника по двум сторонам и углу между ними (SAS):

$\text{Площадь треугольника PAB} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot PB \cdot \sin(\angle APB)$

где $\angle APB$ - угол между сторонами PA и PB.

2. Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу Герона, так как у нас есть длины всех трех сторон:

$\text{Площадь треугольника ABC} = \sqrt{s \cdot (s - AB) \cdot (s - AC) \cdot (s - BC)}$

где $s$ - полупериметр треугольника ABC, который можно найти как $s = \frac{AB + AC + BC}{2}$.

Теперь мы можем рассчитать тангенс двугранного угла:

$\tan(\theta) = \frac{2 \cdot \text{Площадь треугольника PAB}}{\text{Площадь треугольника ABC}}$

Давайте начнем с вычисления угла между PA и PB:

$\sin(\angle APB) = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{PC}{PA} = \frac{20 \, \text{см}}{9 \, \text{см}}$

Теперь найдем полупериметр треугольника ABC:

$s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{12 \, \text{см} + 20 \, \text{см} + 9 \, \text{см}}{2} = \frac{41 \, \text{см}}{2} = 20.5 \, \text{см}$

Теперь мы можем найти площади треугольников:

$\text{Площадь треугольника PAB} = \frac{1}{2} \cdot 9 \, \text{см} \cdot 12 \, \text{см} \cdot \frac{20 \, \text{см}}{9 \, \text{см}} = 120 \, \text{см}^2$

$\text{Площадь треугольника ABC} = \sqrt{20.5 \, \text{см} \cdot (20.5 \, \text{см} - 12 \, \text{см}) \cdot (20.5 \, \text{см} - 20 \, \text{см}) \cdot (20.5 \, \text{см} - 9 \, \text{см})}$

$\text{Площадь треугольника ABC} = \sqrt{20.5 \, \text{см} \cdot 8.5 \, \text{см} \cdot 0.5 \, \text{см} \cdot 11.5 \, \text{см}}$

$\text{Площадь треугольника ABC} = \sqrt{5208.125} \, \text{см}^2 \approx 72.13 \, \text{см}^2$

Теперь мы можем найти тангенс угла $\theta$:

$\tan(\theta) = \frac{2 \cdot 120 \, \text{см}^2}{72.13 \, \text{см}^2} \approx 3.32$

Таким образом, тангенс двугранного угла, образованного плоскостями PAB и ABC, примерно равен 3.32.