Question

Задано три вершини трикутника: А(10;-9), B(0;11). C(-6; 3).Знайдіть:1) рівняння і довжину сторiн АВ І ВС2) кут при вершині В;3) рiвняння медіани АМ;4) рівняння і довжину висоти AN:5) площу трикутника АВС.​

Answer 1

Задано три вершини трикутника: А(10;-9), B(0;11), C(-6; 3).

Знайдіть:

1) рівняння і довжину сторiн АВ І ВС.

Расчет длин сторон      

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √500 = 10√5 ≈ 22,36068.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √100 = 10.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √400 = 20.

Векторы: AB = B(0;11) - А(10;-9) = (-10; 20).

                BC  = C(-6; 3) - B(0;11) = (-6; -8).

                AC = C(-6; 3) - А(10;-9) = (-16; 12).

Уравнения сторон:

АВ : Х-Ха    =    У-Уа        у =  к* х +  в  

       Хв-Ха             Ув-Уа у = -2х +   11          

АВ : 20 Х   +    10У +   -110   =   0

       2 Х   +     1 У    +   -11    =    0.

ВС : Х-Хв    =         У-Ув        у = к* х + в

Хс-Хв             Ус-Ув       у = 1,3333х + 11          

ВС -8 Х +   6 У    +     -66 = 0

4   Х    + -3 У +     33 = 0          

АС : Х-Ха      =       У-Уа         у = к* х + в

       Хс-Ха              Ус-Уа        у = -0,75 х + -1,5          

АС : 12 Х +   16 У  +    24  =  0

3 Х +    4У    +     6   =    0.

2) кут при вершині В: BA = (10; -20), BC = (-6; -8).

                                    |BA) = 10√5,    |BC| = 10.

cos B = (10*(-6) + (-20*(-8))/(10√5*10) = = 0,447213595.  

B = 1,107148718 радиан

B = 63,43494882 градусов

3) рiвняння медіани АМ;

Основания медиан (точки пересечения медиан со сторонами).

M(Хm;Уm)      Хв+Хс       Ув+Ус              х   у

                         2               2           M    -3   7

Уравнения медиан     у = к* х + в

АM :   Х-Ха   =     У-Уа        у = -1,2308 х + 3,3077.        

         Хm-Ха       Уm-Уа      

АM : 16 Х  +  13 У +  -43 = 0.

4) рівняння і довжину висоти AN:

Уравнения высот     у = к* х + в

АN: Х-Ха      =       У-Уа                          у = -0,75 х + -1,5

Ус-Ув             Хв-Хс            

АN: 6 Х + 8 У + 12 = 0

3 Х + 4 У + 6 = 0.  

5) площу трикутника АВС.​

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 100.

Answer 2

Давайте розв'яжемо кожну задачу по порядку:

1. Рівняння і довжину сторін AB і BC:

Спочатку ми можемо знайти довжини сторін AB і BC за допомогою формули відстані між двома точками в декартовій системі координат:

Довжина сторони AB: AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) AB = √((0 - 10)² + (11 - (-9))²) AB = √(10² + 20²) AB = √(100 + 400) AB = √500

Довжина сторони BC: BC = √((x3 - x2)² + (y3 - y2)²) BC = √((-6 - 0)² + (3 - 11)²) BC = √((-6)² + (-8)²) BC = √(36 + 64) BC = √100 BC = 10

Рівняння сторін можна записати в параметричній формі, використовуючи координати вершин:

AB: x = 10t y = -9 + 20t

BC: x = -6 + 6t y = 11 - 8t

2. Кут при вершині B:

Для знаходження кута при вершині B ми можемо використовувати косинусну теорему. Кут при вершині B позначимо як α.

Використовуючи закон косинусів: cos(α) = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC)

Знаємо значення AB і BC з попередньої відповіді: cos(α) = (√500² + 10² - AC²) / (2 * √500 * 10) cos(α) = (500 + 100 - AC²) / (2 * √500 * 10)

Зараз нам потрібно знайти довжину сторони AC, використовуючи ту ж формулу для відстані між точками:

AC = √((x3 - x1)² + (y3 - y1)²) AC = √((-6 - 10)² + (3 - (-9))²) AC = √((-16)² + (12)²) AC = √(256 + 144) AC = √400 AC = 20

Тепер підставимо значення AC у рівняння косинусу: cos(α) = (500 + 100 - 20²) / (2 * √500 * 10) cos(α) = (500 + 100 - 400) / (2 * √500 * 10) cos(α) = (200) / (2 * √500 * 10) cos(α) = (200) / (20 * √5) cos(α) = 10 / √5

Отже, кут при вершині B дорівнює: α = arccos(10 / √5)

3. Рівняння медіани AM:

Медіана AM - це відрізок, який з'єднує середину сторони BC (яку ми позначимо як D) і вершину A. Середина сторони BC:

D(xD, yD) = ((x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2) D(xD, yD) = ((0 + (-6)) / 2, (11 + 3) / 2) D(xD, yD) = (-3, 7)

Тепер, ми можемо використати дві точки, A і D, для побудови рівняння прямої AM:

Коефіцієнт наклона прямої m може бути знайдений як (yA - yD) / (xA - xD): m = (-9 - 7) / (10 - (-3)) m = (-16) / (13)

Тепер, ми можемо використати одну з точок (наприклад, точку A) і знайдемо рівняння прямої, використовуючи формулу: y - yA = m(x - xA)

y - (-9) = (-16/13)(x - 10)

4. Рівняння і довжину висоти AN:

Для знаходження рівняння висоти AN, спрямуємо висоту від вершини A до сторони BC. Висота AN буде перпендикулярно до сторони BC і зустрічатиметься з нею в точці N.

Для знаходження точки N, спочатку знайдемо рівняння прямої BC:

Коефіцієнт наклона прямої BC можна знайти так: m_BC = (y3 - y2) / (x3 - x2) = (3 - 11) / (-6 - 0) = (-8) / (-6) = 4/3

Тепер ми можемо скористатися точкою B і рівнянням прямої: y - yB = m_BC(x - xB) y - 11 = (4/3)(x - 0) y - 11 = (4/3)x

Тепер нам потрібно знайти точку перетину цієї прямої і висоти AN. Позначимо координати точки N як (xN, yN). Також, ми знаємо рівняння медіани AM, яке ми знайшли раніше.

Так як N - це точка перетину, xN буде однаковим в обох рівняннях: (-9 + 16/13xN) = (4/3)xN

Тепер можна розв'язати це рівняння відносно xN: (-9 + 16/13xN) = (4/3)xN

Перенесемо член xN зліва і числові члени справа: (-9) = (4/3)xN - (16/13)xN

Знайдемо спільний знаменник: (-9) = (4/3 - 16/13)xN

Далі, знайдемо xN: xN = (-9) / ((4/3 - 16/13)) xN = (-9) / ((52/39 - 48/39)) xN = (-9) / (4/39) xN = -9 * (39/4) xN = -87.75

Тепер підставимо xN у будь-яке з рівнянь прямої (наприклад, рівняння прямої BC), щоб знайти відповідне значення yN: yN - 11 = (4/3)(-87.75) yN - 11 = -117.0 yN = -117.0 + 11 yN = -106.0

Тепер, ми знаємо координати точки N, і можемо записати рівняння висоти AN, використовуючи точки A і N:

m_AN = (yN - yA) / (xN - xA) m_AN = (-106 - (-9)) / (-87.75 - 10) m_AN = (-97) / (-97.75) m_AN ≈ 0.9923

Тепер використаємо точку A та отриманий коефіцієнт наклона для запису рівняння висоти AN: y - (-9) = 0.9923(x - 10)

5. Площа трикутника ABC:

Тепер, коли ми знаємо довжини сторін AB, BC і AC, ми можемо знайти площу трикутника за допомогою формули площі Герона:

p = (AB + BC + AC) / 2 p = (√500 + 10 + 20) / 2 p = (√500 + 10 + 20) / 2 p = (√500 + 30) / 2 p = (10√5 + 30) / 2

Тепер знайдемо площу за формулою Герона:

Площа = √[p(p - AB)(p - BC)(p - AC)] Площа = √[((10√5 + 30)/2) * ((10√5 + 30)/2 - √500) * ((10√5 + 30)/2 - 10) * ((10√5 + 30)/2 - 20)]

Після розрахунків отримаємо площу трикутника.

Це відповіді на всі пункти вашого завдання.