Question

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равана 10, а высота SH равна 24. Точки M и N - середины рёбер SB и AB соответственно. Плоскость, проходящая через точки M и C параллельно прямой SN, пересекает ребро AB в точке K. Найти: а) Докажите, что AK:KB=3:1 b) Найдите площадь получившегося сечения.

Answer 1

Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB равна 10, а высота SH равна 24. Точки M и N - середины рёбер SB и AB.

а) Находим длину L бокового ребра.

Перед этим определяем высоту основания:

h = a√3/2 = 10√3/2 = 5√3.

L =  √(H² + ((2/3)h)²) = √(24² + (10√3/3)²) = 2√(457/3).

Теперь находим апофему А боковой грани.

A = √(H² + ((1/3)h)²) = √(24² + (5√3/3)²) = √(1753/3).

Заданная плоскость, проходящая через точки M и C параллельно прямой SN, пересекает ребро AB в точке K.

При этом линия сечения МК параллельна апофеме А = SN.

Поскольку SK - средняя линия треугольника NSB , то она делит NB пополам, или КВ = (1/4)АВ,

Доказано: AK:KB=3:1.

б) Находим длины сторон треугольника СМК, являющегося сечением пирамиды заданной плоскостью.

CK = √(h² + (a/4)²) = √((5√3)² + (10/4)²) = √75 + (25/4)) = √(325/4) = (5/2)√13.

MK = (1/2)A = (1/2)√(1753/3).

СМ находим как медиану треугольника BSC по теореме косинусов.

CM = √((L/2)² + a² - 2*(L/2)*a*cosB) =

     = √((457/3) + 100 - 2*(1/2)√(1753/3)*0,20255) = 14,2244.

Площадь по формуле Герона равна: S = 54,11336 кв.ед.

Ответ: S(CMK) = 54,11336 кв.ед.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся основные свойства геометрии треугольников и пирамид. Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.

a) Доказательство того, что AK:KB=3:1:

1. Обратим внимание на то, что треугольник SAB - прямоугольный треугольник, так как он является основанием правильной треугольной пирамиды, и SH - высота этой пирамиды, проходящая через вершину S, делит треугольник SAB на два равнобедренных прямоугольных треугольника: SHA и SHB. Значит, угол ASH равен углу BSH, и они равны 45 градусов.

2. Так как M - середина стороны SB, то SM = MB, и угол MSM (или MSH) также равен 45 градусов.

3. Теперь рассмотрим треугольник SNK и треугольник MKC. Они подобны, так как угол SNK равен углу MKC (они оба равны 45 градусов) и угол NSK равен углу MKC (они оба прямые углы, так как SN параллельно NC и SK перпендикулярно NB).

4. По свойству подобных треугольников, отношение сторон SN и NK равно отношению сторон SM и MC.

Теперь мы можем записать это отношение:

(SN / NK) = (SM / MC)

Так как SM = MB и MC = CB (M - середина SB, а C - вершина пирамиды), и мы знаем, что SB = 10 (сторона основания), то:

(SN / NK) = (MB / CB) = (5 / CB)

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ABC. Он также является прямоугольным треугольником, и мы знаем, что угол CAB равен 45 градусов (половина угла ASH). Поэтому у нас есть следующее отношение:

(CB / AB) = 1/√2

Теперь мы можем выразить CB через AB:

CB = (1/√2) * AB

Вставим это выражение в наше предыдущее равенство:

(SN / NK) = (5 / (1/√2) * AB) = 5√2/AB

Так как нам нужно найти отношение AK к KB, давайте перепишем это выражение:

AK/KB = (SN - SA) / SA = (SN / SA) - 1

Мы знаем, что SN = 5√2, так как SB = 10, и SN делит SB пополам (поскольку M - середина SB), а SA = SH = 24.

Подставляем значения:

AK/KB = (5√2 / 24) - 1 = (5√2 / 24) - (24 / 24) = (5√2 - 24) / 24

Теперь мы выразили отношение AK к KB, и оно равно (5√2 - 24) / 24. Мы видим, что (5√2 - 24) = 3√2, поэтому:

AK/KB = (3√2 / 24) = √2 / 8

Теперь давайте перейдем ко второй части задачи.

b) Найдем площадь получившегося сечения:

Площадь сечения можно найти, используя отношение площадей треугольников SNK и SAB, так как SNK параллелен SAB и подобен ему. Таким образом, отношение площадей будет равно квадрату отношения сторон:

Площадь(SNK) / Площадь(SAB) = (SN/SAB)^2

Мы уже вычислили SN/SAB в предыдущей части задачи, это (5√2/24).

Теперь вычислим площадь треугольника SAB. Это прямоугольный треугольник, и его площадь можно найти как половину произведения катетов:

Площадь(SAB) = (1/2) * AB * SA = (1/2) * 10 * 24 = 120

Теперь используем найденные значения:

Площадь(SNK) / 120 = (5√2/24)^2

Площадь(SNK) = 120 * (5√2/24)^2

Площадь(SNK) = 120 * (5^2 * 2 / 24^2)

Площадь(SNK) = 120 * (25 * 2 / 576)

Площадь(SNK) = (120 * 50) / 576

Площадь(SNK) = 6000 / 576

Площадь(SNK) = 125/12

Таким образом, площадь получившегося сечения равна 125/12.