Question

Найдите положительное значение знаменателя геометрической прогрессии, если сумма первых четырех ее членов равна 15, а сумма последующих четырех членов- 240.​

Answer 1

Ответ:

q=2

Объяснение:

по условию b₁+b₂+b₃+b₄=15     b₅+b₆+b₇+b₈=240

используем формулу n-го члена геометрической прогрессии

b₁+b₁q+b₁q²+b₁q³=15  

b₁(1+q+q²+q³)=15   (1)

b₁q⁴+b₁q⁵+b₁q⁶+b₁q⁷=240

b₁q⁴(1+q+q²+q³)=240   (2)     подставим  (1)  в  (2)

15q⁴=240   q⁴=16    q=-2  или  q=2  по условию q>0 значит q=2

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а знаменатель равен q.

Сумма первых четырех членов прогрессии можно выразить следующим образом: S_1 = a + aq + aq^2 + aq^3 = 15 ...........(1)

Сумма последующих четырех членов прогрессии можно выразить следующим образом: S_2 = aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7 = 240 ...........(2)

Так как знаменатель является положительным значением, то q ≠ 0.

Для решения этой системы уравнений можно воспользоваться методом деления (2) на (1).

S_2/S_1 = (aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7)/(a + aq + aq^2 + aq^3) = q^4 + q^5 + q^6 + q^7

Известно, что S_2/S_1 = 240/15 = 16.

Теперь заметим следующее:

q^4 + q^5 + q^6 + q^7 = q^4(1 + q + q^2 + q^3) = q^4(1 - q^4)/(1 - q)

Таким образом, уравнение принимает вид:

q^4(1 - q^4)/(1 - q) = 16

Перепишем уравнение следующим образом:

q^4(1 - q^4) = 16(1 - q)

q^4 - q^8 = 16 - 16q

q^8 - q^4 - 16q + 16 = 0

Проанализировав уравнение, можно заметить, что q = 1 является корнем. Подставим это значение и упростим уравнение:

(1 - 1^4)(q^4 - 1) = 0

q^4 - 1 = 0

(q^2 - 1)(q^2 + 1) = 0

Таким образом, получаем два корня: q = -1 и q = 1.

Однако, по условию дано, что знаменатель является положительным значением, поэтому искомое положительное значение знаменателя геометрической прогрессии равно q = 1.