Question

В треугольнике ABC угол В равен 20°, угол С равен 10°. Вне треугольника выбрана точка М так, что треугольник СМВ равносторонний. (Точки М и А лежат по разные стороны от прямой ВС.) Докажите что точка М совпадает с центром описанной окружности

Answer 1

1) Центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к BC.

2) Отрезок BC виден из центра описанной окружности под углом

=∪BA+∪AC =2(∠C+∠B) =60°

ГМТ из которых отрезок виден под данным углом - две дуги. Выбираем дугу в полуплоскости, не содержащей A. Серединный перпендикуляр к BC пересекает эту дугу в единственной точке.

Точка M удовлетворяет обоим условиям, следовательно является центром описанной окружности.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную геометрическую задачу.

Обозначим углы треугольника ABC следующим образом: - \( \angle A \) - угол при вершине A, - \( \angle B \) - угол при вершине B, - \( \angle C \) - угол при вершине C.

Также обозначим точку M вне треугольника ABC, такую, что треугольник \( \triangle CMV \) является равносторонним, где V - середина отрезка AB.

Исходные данные: \[ \angle B = 20^\circ, \quad \angle C = 10^\circ \]

Так как треугольник \( \triangle CMV \) равносторонний, то у него все углы равны 60°, и мы можем записать: \[ \angle CVM = \angle C = 10^\circ \] \[ \angle VCM = \angle VCB - \angle MCB = \angle B - \angle C = 20^\circ - 10^\circ = 10^\circ \]

Теперь обратим внимание на треугольник \( \triangle CVM \). У него два угла при вершине: \( \angle CVM \) и \( \angle VCM \), которые равны между собой. Значит, третий угол \( \angle CVM \) также равен 10°.

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle CMA \). У него два угла при вершине: \( \angle CMA \) и \( \angle VCM \), которые равны между собой (так как точка M выбрана так, что треугольник \( \triangle CMV \) равносторонний). Значит, третий угол \( \angle CMA \) тоже равен 10°.

Таким образом, углы \( \angle CMA \) и \( \angle CVM \) равны, и точка M лежит на дуге CA. Поскольку угол \( \angle CMA \) равен 10°, а угол \( \angle C \) тоже равен 10°, то точка M совпадает с центром описанной окружности вокруг треугольника ABC.