Question

7. У прямоугольника стороны равны АВ=2м и АС=3м. Тело образованные путем вращением вокруг АВ и АС имеет объемы соответственно V1 и V2. Сравнит объемы.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

В результате вращения получим два цилиндра, смотри рисунок

V=πr²h

V1=πAB²×AC=12π м³

V2=πAC²×AB=18π м³

V1÷V2=AB÷AC

V1÷V2=2/3

Answer 2

Чтобы сравнить объемы тел, образованных вращением прямоугольника вокруг сторон AB и AC, нужно использовать формулу для объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси.

Объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси, можно вычислить с помощью интеграла от x до y от функции площади поперечного сечения фигуры, где x и y - координаты начала и конца сечения, а функция площади поперечного сечения зависит от расстояния от оси вращения.

В данном случае, для тела, образованного вращением прямоугольника вокруг стороны AB, функция площади поперечного сечения будет зависеть от расстояния от оси вращения до стороны AB. Аналогично, для тела, образованного вращением прямоугольника вокруг стороны AC, функция площади поперечного сечения будет зависеть от расстояния от оси вращения до стороны AC.

Чтобы сравнить объемы V1 и V2, нужно вычислить эти объемы и сравнить полученные значения.

Давайте рассчитаем объемы V1 и V2.

Расчет объема V1 (тело, образованное вращением вокруг AB):

Для этого нам понадобится функция площади поперечного сечения, зависящая от расстояния от оси вращения до стороны AB. Так как сторона AB равна 2 метрам, то функция площади поперечного сечения будет зависеть от расстояния от оси вращения до точки на отрезке AB.

Поскольку прямоугольник имеет прямые углы, можно сказать, что площадь поперечного сечения будет прямо пропорциональна квадрату расстояния от оси вращения до точки на стороне AB.

Таким образом, функция площади поперечного сечения будет выглядеть как S1(x) = k1 * x^2, где x - расстояние от оси вращения до точки на стороне AB, а k1 - коэффициент пропорциональности.

Для нахождения коэффициента k1, нам нужно знать площадь поперечного сечения, когда x = 2 (то есть, когда расстояние от оси вращения до точки на стороне AB равно длине стороны AB).

Так как сторона AB равна 2 метрам, площадь поперечного сечения будет равна площади прямоугольника со сторонами 2 м и d (где d - длина стороны прямоугольника, перпендикулярной стороне AB).

По условию, сторона AC равна 3 метра, поэтому d = 3 метра.

Таким образом, площадь поперечного сечения при x = 2 будет равна S1(2) = 2 * 3 = 6 квадратных метров.

Теперь мы можем вычислить коэффициент k1:

k1 = S1(2) / 2^2 = 6 / 4 = 1.5

Теперь мы можем вычислить объем V1:

V1 = ∫[0,2] S1(x) dx

V1 = ∫[0,2] (1.5 * x^2) dx

V1 = 1.5 * ∫[0,2] x^2 dx

V1 = 1.5 * [x^3 / 3] [0,2]

V1 = 1.5 * (2^3 / 3 - 0^3 / 3)

V1 = 1.5 * (8 / 3)

V1 = 4 кубических метра

Расчет объема V2 (тело, образованное вращением вокруг AC):

Аналогично, нам нужно определить функцию площади поперечного сечения, зависящую от расстояния от оси вращения до стороны AC.

Так как сторона AC равна 3 метрам, функция площади поперечного сечения будет зависеть от расстояния от оси вращения до точки на отрезке AC.

Используя ту же логику, что и ранее, функция площади поперечного сечения будет выглядеть как S2(x) = k2 * x^2, где x - расстояние от оси вращения до точки на стороне AC, а k2 - коэффициент пропорциональности.

Для нахождения коэффициента k2, нам нужно знать площадь поперечного сечения, когда x = 3 (то есть, когда расстояние от оси вращения до точки на стороне AC равно длине стороны AC).

По условию, сторона AB равна 2 метра, поэтому площадь поперечного сечения будет равна площади прямоугольника со сторонами 2 м и d (где d - длина стороны прямоугольника, перпендикулярной стороне AC).

Так как сторона AB равна 2 метра, d = 2 метра.

Таким образом, площадь поперечного сечения при x = 3 будет равна S2(3) = 2 * 3 = 6 квадратных метров.

Теперь мы можем вычислить коэффициент k2:

k2 = S2(3) / 3^2 = 6 / 9 = 2/3

Теперь мы можем вычислить объем V2:

V2 = ∫[0,3] S2(x) dx

V2 = ∫[0,3] (2/3 * x^2) dx

V2 = (2/3) * ∫[0,3] x^2 dx

V2 = (2/3) * [x^3 / 3] [0,3]

V2 = (2/3) * (3^3 / 3 - 0^3 / 3)

V2 = (2/3) * (27 / 3)

V2 = 18 кубических метров

Сравнение объемов:

Итак, мы получили, что объем тела, образованного вращением вокруг стороны AB, равен 4 кубическим метрам, а объем тела, образованного вращением вокруг стороны AC, равен 18 кубическим метрам.

Таким образом, объем тела, образованного вращением вокруг стороны AC, больше, чем объем тела, образованного вращением вокруг стороны AB.