Question

Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45˚. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник со стороной, равной 3, и противоположным углом 30˚. Найдите объём описанной около пирамиды конуса. а) Определить нельзя; б) 3π см3; в) 2π см3; г) 18π см3; д) 9π см3.

Answer 1

Ответ:  9π см³

Объяснение:  Если основание пирамиды - прямоугольный треугольник, а  боковые рёбра наклонены к плоскости основания под  равным углом, то её высота проходит через центр описанной около основания окружности, т.е. через середину гипотенузы.

          *   *   *

    Пусть в пирамиде МАВС угол С ∆ АВС - прямой, МО - высота пирамиды ( МО - перпендикуляр к плоскости основания),  и углы МАО=МВО=МСО=45°.

    Тогда ∆ МАО=∆ МВО=∆ МСО по равному острому углу и общему катету МО. Они равнобедренные, МО=АО=ВО=СО=R.

    Катет АС противолежит углу 30° => равен половине гипотенузы АВ.

АВ=2•3=6.

  Конус, описанный около пирамиды, имеет общую с ней вершину, боковые ребра -  образующие конуса,  а его основание - описанная около основания пирамиды окружность.

R=3.

   Формула объёма конуса V=S•h:3, где S - площадь основания конуса, h- его высота.

V=πR²•h:3= π•3²•3:3=9π см³

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для объема пирамиды: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, а h - высота пирамиды.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле S = (1/2) * a * b, где a и b - длины катетов треугольника. В данном случае, один из катетов равен 3, а противоположный угол равен 30˚, что означает, что второй катет равен 3 * tan(30˚) = 3 * (√3/3) = √3.

Таким образом, S = (1/2) * 3 * √3 = (3√3)/2.

Высоту пирамиды можно найти, зная, что боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45˚. Это означает, что высота пирамиды равна половине длины бокового ребра. Длина бокового ребра можно найти, используя теорему Пифагора, так как это прямоугольный треугольник. Одна из катетов равна 3, а гипотенуза равна √(3^2 + (√3)^2) = √(9 + 3) = √12 = 2√3.

Таким образом, высота пирамиды равна (1/2) * 2√3 = √3.

Теперь мы можем подставить значения S = (3√3)/2 и h = √3 в формулу для объема пирамиды: V = (1/3) * (3√3)/2 * √3 = (1/3) * (3√3 * √3)/2 = (1/3) * (9/2) = 3/2.

Ответ: а) Определить нельзя.