Question

на основании ас равнобедренного треугольника авс взяли такую точку м что угол вмс равен 60 найдите вм если ам равно 3 а см равно 5

Answer 1

Так как АВС — равнобедренный треугольник с основанием АС, то АВ = ВС.

∠BMC + ∠BMA = 180°, поскольку они смежные.

Значит, ∠BMA = 180 - ∠BMC = 180 - 60 = 120°.

По теореме косинусов:

$AB^2 = BM^2 +AM^2 - 2\cdot BM\cdot AM \cdot cos \angle BMA$.

$BC^2 = BM^2 +MC^2 - 2\cdot BM\cdot MC \cdot cos \angle BMC$.

Косинус тупого угла равен косинусу смежного с ним острого угла, взятого с противоположным знаком, поэтому:

$cos \ 60\textdegree = \frac{1}{2}$;

$cos \ 120\textdegree = -\frac{1}{2}$.

Подставляем известные величины в формулы. BM обозначим как x.

$AB^2 = x^2 +3^2 - 2\cdot x\cdot 3\cdot (-\frac{1}{2} )=x^2 + 9 +3x.$

$BC^2 = x^2 +5^2 - 2\cdot x\cdot 5\cdot \frac{1}{2} =x^2 + 25 -5x.$

Раз длины сторон АВ и ВС равны, то их квадраты тоже будут равны, так что можем приравнять полученные выражения:

$x^2 + 9 +3x=x^2+25-5x$;

$x^2+3x-x^2+5x=25-9;$

$8x=16;$

$x = 16 : 8;$

$x = 2$.

Ответ: BM = 2 см.

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника.

Поскольку треугольник АВС является равнобедренным, то основаниями равнобедренного треугольника являются отрезки АМ и СМ.

Мы знаем, что АМ = 3 и СМ = 5. Также нам известно, что угол ВМС равен 60 градусов.

Чтобы найти значение угла ВМС, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ВМС:

cos(∠ВМС) = (ВМ² + СМ² - ВС²) / (2 * ВМ * СМ),

где ВС - сторона треугольника АВС.

Так как треугольник АВС равнобедренный, сторона ВС равна стороне АС, то есть ВС = АС.

Так как АС - сторона треугольника АВС, мы можем записать:

cos(∠ВМС) = (ВМ² + СМ² - АС²) / (2 * ВМ * СМ).

Таким образом, мы можем решить уравнение для ВМ:

cos(60) = (ВМ² + 5² - АС²) / (2 * ВМ * 5).

Угол 60 градусов соответствует cos(60) = 1/2. Подставим это значение в уравнение:

1/2 = (ВМ² + 25 - АС²) / (10 * ВМ).

Умножим обе части уравнения на 10 ВМ:

5 ВМ = ВМ² + 25 - АС².

Учитывая, что АС = ВС, заменим АС на ВС:

5 ВМ = ВМ² + 25 - ВС².

Так как ВС = АС, то ВС² = АС²:

5 ВМ = ВМ² + 25 - ВМ².

Упростим уравнение:

5 ВМ = 25.

Разделим обе части на 5:

ВМ = 5.

Таким образом, значение ВМ равно 5.