Question

Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найти длину этой окружности и площадь круга, ограниченного этой окружностью

Answer 1

Ответ:

Длина окружности равна 10π√3 см.

Площадь круга, ограниченного данной окружностью, равна

75π см².

Объяснение:

Пусть правильный треугольник АВС вписан в окружность

Р= 45 см. Так как треугольник правильный, то у него все стороны равны. Найдем сторону треугольника

а= 45: 3=15 см .

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника определяется по формуле

$R=\dfrac{a}{\sqrt{3} } ;\\\\R=\dfrac{15}{\sqrt{3} } =\dfrac{15\sqrt{3} }{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} } } =\dfrac{15\sqrt{3} }{3} =5\sqrt{3}$

Значит, радиус окружности, описанной около треугольника

5√3 см.

Найдем длину  данной окружности по формуле

$C= 2\pi R;\\C=2\cdot\pi \cdot5\sqrt{3} =10\pi \sqrt{3}$

Длина окружности равна 10π√3 см.

Найдем площадь круга, ограниченного данной окружностью по формуле

$S=\pi R^{2} ;\\S=\pi \cdot(5\sqrt{3} )^{2} =\pi \cdot25\cdot3=75\pi$

Площадь круга, ограниченного данной окружностью,

равна 75π см².

Answer 2

Для решения данной задачи нам потребуется знание свойств правильного треугольника и окружности. Давайте рассмотрим каждую часть задачи по отдельности.

Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность

Периметр правильного треугольника равен сумме длин его сторон. В данном случае, так как треугольник вписан в окружность, каждая сторона треугольника является хордой окружности. Обозначим длину стороны треугольника как `s`.

У правильного треугольника все стороны равны, поэтому периметр можно выразить как 3 * `s`. В задаче дано, что периметр равен 45 см, поэтому у нас получается уравнение:

3 * `s` = 45

Для нахождения длины стороны треугольника `s` нужно разделить обе части уравнения на 3:

`s` = 45 / 3 = 15 см

Длина окружности

Длина окружности можно вычислить по формуле:

`длина окружности = 2 * π * радиус`

В данном случае, так как треугольник вписан в окружность, радиус окружности равен половине длины стороны треугольника, то есть `s / 2`.

Подставим значение `s = 15` в формулу:

`длина окружности = 2 * π * (s / 2)`

Упрощаем:

`длина окружности = π * s`

Подставляем значение `s = 15`:

`длина окружности = π * 15`

Площадь круга, ограниченного этой окружностью

Площадь круга можно вычислить по формуле:

`площадь круга = π * радиус^2`

В данном случае, радиус круга также равен половине длины стороны треугольника, то есть `s / 2`.

Подставим значение `s = 15` в формулу:

`площадь круга = π * (s / 2)^2`

Упрощаем:

`площадь круга = π * (s^2 / 4)`

Подставляем значение `s = 15`:

`площадь круга = π * (15^2 / 4)`

Теперь можно вычислить значения:

- Длина окружности: `длина окружности = π * 15` см - Площадь круга: `площадь круга = π * (15^2 / 4)` см^2

Обратите внимание, что в задаче не было указано значение числа π. Обычно в школьных задачах используют приближенное значение π, равное 3.14 или 22/7. Если бы в задаче было указано точное значение π, мы могли бы подставить его вместо символа π в формулах выше.