Question

Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена медиана CM. Окружность, вписанная в треугольник AMC, касается его сторон AM и MC в точках P и Q. а) Докажите, что PQ || AC. б) Найдите угол ABC, если AB = 8, PQ = 2.

Answer 1

а)

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Это значит, что AM = MC и Δ AMC является равнобедренным.

Учитывая, что сумма углов треугольника составляет 180°, и что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, можем выразить один из углов при основании:

$\displaystyle \angle MAC = \frac{1}{2} (180\textdegree - \angle AMC).$

Так как в треугольник AMC вписана окружность, то его стороны являются касательными к этой окружности.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, поэтому PM = MQ и ΔPMQ равнобедренный.

По тем же причинам, что были изложены выше, $\displaystyle \angle MPQ = \frac{1}{2} (180\textdegree - \angle AMC).$

Таким образом, ∠MAC = ∠AMC.

Это соответственные углы при прямых PQ, AC и секущей AM, и, поскольку они равны, то PQ || AC.

Что и требовалось доказать.

б)

Медиана делит сторону, к которой она проведена, пополам. Это значит, что $\displaystyle AM = MC= \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4.$

Пусть PM = MQ = х.

Тогда AP = CQ = 4 - x.

AO = AP и CO = CQ, как отрезки касательных, проведенных из одной точки, поэтому:

AO = CO = 4 - x.

AC = AO + CO = 2(4 - х).

Поскольку ∠AMC — общий для треугольников AMC и PMQ, а ∠MAC = ∠AMC, то эти треугольники подобны по двум углам.

У подобных треугольников сходственные стороны пропорциональны:

$\displaystyle \frac{PM}{AM}= \frac{PQ}{AC}$;

$\displaystyle \frac{x}{4}= \frac{2}{2(4-x)}$;

$\displaystyle \frac{x}{4}= \frac{1}{4-x}$;

По свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних:

x (4 - x) = 4;

4x - x² = 4;

- x² + 4x - 4 = 0 — квадратное уравнение.

D = b² - 4ac = 4² - 4 ∙ (-1) ∙ (-4) = 16 - 16 = 0.

Дискриминант равен нулю, поэтому уравнение имеет один корень:

$\displaystyle x = \frac{-b }{2a}= \frac{-4}{2\cdot (-1)} = \frac{-4}{-2} =2.$

AC = 2(4 - х) = 2(4 - 2) = 4.

Отсюда, $\displaystyle AC = \frac{1}{2} \cdot AB$.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то лежащий против него угол равен 30°.

Значит, ∠ABC = 30°.

Answer 2

а) Для доказательства того, что PQ || AC, можно воспользоваться свойствами вписанной окружности. Так как окружность касается сторон AM и MC, то отрезки AP и CQ являются ее радиусами и перпендикулярны сторонам треугольника AMC. Таким образом, углы APC и CQM прямые. Из этого следует, что угол APC равен углу CQM. Так как угол APC равен углу BAC (по свойству касательной и радиуса), то угол BAC также равен углу CQM. Из этого следует, что PQ || AC.

б) Рассмотрим треугольник ABC. Пусть угол ABC равен α. Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол BAC равен 90° - α. Также из условия известно, что AB = 8 и PQ = 2. Из этого можно составить уравнение:

tan(90° - α) = 8 / 2

tan(90° - α) = 4

Так как tan(90° - α) = cot(α), то получаем:

cot(α) = 4

Находим угол α, для которого cot(α) = 4. Получаем, что α = arccot(4).

Таким образом, угол ABC равен arccot(4).