Question

Образующая конуса составляет с его плоскостью угол 30°, а площадь сечения, проходящая через образующие, угол между которыми 120°, равна ✓3. Найдите объём конуса.

Answer 1

[Вот решение и ответ]

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулы, связанные с геометрией конуса, а именно формулу для нахождения объема конуса.

Нахождение объема конуса

Объем \(V\) конуса можно выразить через его высоту \(h\) и площадь основания \(S\) с помощью формулы:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\]

Нахождение площади основания

Для нахождения площади основания \(S\) конуса, мы можем воспользоваться формулой:

\[S = \frac{1}{2} \cdot r^2\]

где \(r\) - радиус основания конуса.

Решение

Для начала найдем радиус основания конуса. Для этого воспользуемся информацией о площади сечения, проходящей через образующие. Площадь сечения можно выразить через радиус \(r\) и угол \(\alpha\) между образующими:

\[S = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin(\alpha)\]

В данной задаче у нас задан угол между образующими \(\alpha = 120°\) и площадь сечения \(S = \sqrt{3}\). Подставим эти значения в формулу и найдем радиус основания конуса:

\[\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin(120°)\] \[\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[2 = r^2\]

Таким образом, \(r = \sqrt{2}\).

Теперь у нас есть радиус основания. Для нахождения объема конуса нам нужна еще высота \(h\). Мы знаем, что образующая конуса составляет угол 30° с его плоскостью, значит, мы можем использовать связь между радиусом, высотой и образующей:

\[r = h \cdot \tan(\theta)\]

где \(\theta\) - угол между образующей и плоскостью конуса.

Подставим известные значения и найдем высоту \(h\):

\[\sqrt{2} = h \cdot \tan(30°)\] \[\sqrt{2} = h \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\] \[h = \sqrt{6}\]

Теперь, когда у нас есть радиус основания \(r = \sqrt{2}\) и высота \(h = \sqrt{6}\), мы можем найти объем конуса, используя формулу:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{6}\] \[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{6}\] \[V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{6}\]

Таким образом, объем конуса равен \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).