Question

основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. каждое боковое ребро 5√5. Найдите объем пирамиды и площадь её боковой поверхности

Answer 1

Ответ:

Объем пирамиды равен 80 куб. ед.

Площадь боковой поверхности (50 + 6√29 + 4√109) кв. ед.

Объяснение:

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 , каждое боковое ребро 5√5. Найти объем пирамиды и площадь ее боковой поверхности.

Пусть дана пирамида МАВС . Δ АВС - прямоугольный с катетами АС =6 ед., ВС =8 ед.

Найдем гипотенузу АВ по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$AB^{2} =AC^{2} +BC ^{2} ;\\AB= \sqrt{AC^{2} +BC ^{2}} ;\\AB =\sqrt{6^{2}+8^{2} } =\sqrt{36+64} =\sqrt{100} =10$ ед.

Если все боковые ребра равны, то вершина проектируется в центр описанной около Δ АВС окружности, а для прямоугольного треугольника это будет середина гипотенузы - точка.

Тогда АО =ВО =10:2 =5 ед.

Рассмотрим Δ АОМ   прямоугольный и найдем ОМ по теореме Пифагора.

$AM^{2} =AO^{2} +OM^{2} ;\\OM^{2} =AM^{2} -AO^{2} ;\\OM=\sqrt{AM^{2} -AO^{2}} \\OM =\sqrt{(5\sqrt{5} )^{2} -5^{2} } =\sqrt{25\cdot5 -25} =\sqrt{125-25} =\sqrt{100} =10$

Найдем площадь прямоугольного треугольника как полупроизведение катетов.

$S {_{ABC}= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC ;$

$S {_{ABC}= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8=3\cdot8=24$ кв. ед.

Найдем объем пирамиды по формуле:

$V =\dfrac{1}{3} \cdot S \cdot H,$

где S - площадь основания пирамиды, H - высота.

$V =\dfrac{1}{3} \cdot 24 \cdot10=8\cdot10 =80$

значит, объем пирамиды равен 80 куб. ед.

Площадь боковой  поверхности равна сумме площадей всех ее  боковых граней .

$S {_{ABM}= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot OM;$

$S {_{ABM}= \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10=5\cdot10 =50$ кв.ед.

Найдем площадь боковой грани АМС . Проведем высоту МК и найдем ее по теореме Пифагора.

МК - высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, тогда она является и медианой.

АК =СК =6: 2 =3 ед.

$MK =\sqrt{AM^{2} -AK ^{2} } ;$

$MK =\sqrt{(5\sqrt{5}) ^{2} -3 ^{2} } =\sqrt{125-9} =\sqrt{116} =\sqrt{4\cdot 29} =2\sqrt{29}$

$S{_{AMC}}= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot MK$

$S{_{AMC}}= \dfrac{1}{2} \cdot6 \cdot 2\sqrt{29} =6\sqrt{29}$ кв. ед.

Аналогично найдем площадь боковой грани ВСМ. Проведем высоту МН

СН =ВН = 8 : 2 =4 ед.

$MH =\sqrt{MB ^{2} -BH^{2} } ;$

$MH =\sqrt{(5\sqrt{5}) ^{2} -4^{2} } =\sqrt{125-16} =\sqrt{109}$

$S{_{CMB}}=\dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot MH$

$S{_{CMB}}=\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{109}=4\sqrt{109}$ кв. ед.

Тогда площадь боковой поверхности пирамиды равна

$S = S{_{ABM}}+ S{_{AMC}}+ S{_{CMB}};$

$S =50+6\sqrt{29} +4\sqrt{109}$ кв. ед.

#SPJ5

Answer 2

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать формулы для нахождения объема и площади боковой поверхности пирамиды.

Объем пирамиды можно найти по формуле: V = (1/3) * S_base * h, где S_base - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле: S_side = (1/2) * P_side * l, где P_side - периметр основания пирамиды, а l - длина бокового ребра.

Для начала, найдем площадь основания пирамиды, используя прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8: S_base = (1/2) * a * b, где a и b - длины катетов прямоугольного треугольника.

S_base = (1/2) * 6 * 8 = 24.

Теперь найдем высоту пирамиды. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора, так как основание пирамиды является прямоугольным треугольником. Высота пирамиды будет являться вторым катетом этого треугольника. Используя теорему Пифагора, получаем: h = sqrt(8^2 - 6^2) = sqrt(64 - 36) = sqrt(28).

Теперь, используя найденные значения, мы можем рассчитать объем пирамиды: V = (1/3) * S_base * h = (1/3) * 24 * sqrt(28) ≈ 21.86.

Далее, найдем длину бокового ребра пирамиды: l = 5√5.

Используя периметр основания пирамиды, получаем: P_side = 6 + 8 + l + l = 6 + 8 + 5√5 + 5√5 = 14 + 10√5.

Теперь мы можем рассчитать площадь боковой поверхности пирамиды: S_side = (1/2) * P_side * l = (1/2) * (14 + 10√5) * 5√5 ≈ 94.86.

Итак, объем пирамиды составляет около 21.86, а площадь ее боковой поверхности примерно равна 94.86.