Question

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна 13 см, а один из катетов 24 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.

Answer 1

Ответ:

4 см

Объяснение:

а=24

m=13

1 способ

медиана, проведенная к гипотенузе, в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы, т.к. эта медиана - радиус описанной около него окружности. Медиана равна 13 см, значит, гипотенуза

c=2*13=26(см), по теореме Пифагора второй катет равен

b=√(c²-a²)=√(26²-24²)=√(2*50)=10(см)

радиус окружности, вписанной в данный треугольник, найдем по формуле (a+b-c)/2=(24+10-26)/2=8/2=4(см)

2 способ

Можно было решать через площадь SΔ=p*r (1); где полупериметр

p=(а+b+c)/2=(24+10+26)/2=60/2=30(см); r - искомый радиус, который из  формулы (1) равен:

r=SΔ/p

SΔ=а*b/2=24*10/2=120(см²)

r=SΔ/p=120/30=4(см)

Answer 2

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в треугольник, можно воспользоваться следующей формулой:

$r = \frac{{a + b - c}}{2}$

где $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника.

В данном случае, известны длины медианы ($m$) и одного катета ($b$), а нам нужно найти радиус ($r$). Давайте найдем оставшиеся стороны треугольника.

Медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Длина медианы равна половине длины гипотенузы. Поэтому, если $c$ - гипотенуза, то $m = \frac{c}{2}$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$ имеем:

$a^2 + b^2 = c^2$

Теперь можем составить систему уравнений:

$$\begin{cases} m = \frac{c}{2} \\ a = 24 \\ a^2 + b^2 = c^2 \end{cases}$$

Подставим известные значения:

$$\begin{cases} 13 = \frac{c}{2} \\ 24^2 + b^2 = c^2 \end{cases}$$

Решим первое уравнение относительно $c$:

$c = 2 \cdot 13 = 26$

Подставим это значение во второе уравнение:

$24^2 + b^2 = 26^2$

$576 + b^2 = 676$

$b^2 = 676 - 576$

$b^2 = 100$

$b = 10$

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника: $a = 24$, $b = 10$, $c = 26$.

Используем формулу для радиуса вписанной окружности:

$r = \frac{{a + b - c}}{2}$

$r = \frac{{24 + 10 - 26}}{2}$

$r = \frac{8}{2}$

$r = 4$

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 4 см.