Question

Ребят помогите с Показательными неравенствами пожалуйста))) 1)3^x>1/243. 2) (5/7)^3x+4>либо равно 25/49. 3)4^2x-5*4^x+4<0 если можно с обьяснением)))  

Answer 1

1) Начнем с первого неравенства: 3^x > 1/243.

Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать следующий подход: применим логарифм к обеим сторонам неравенства (по любому основанию логарифма). Для удобства воспользуемся натуральным логарифмом:

ln(3^x) > ln(1/243).

Здесь ln обозначает натуральный логарифм (логарифм по основанию e).

Используя свойство логарифма ln(a^b) = b * ln(a), получаем:

x * ln(3) > ln(1/243).

Вычислим значения логарифмов: ln(3) ≈ 1.0986 и ln(1/243) ≈ -5.4931.

Теперь можем переписать неравенство в виде:

x > -(ln(1/243)) / ln(3).

Подставив числовые значения, получаем:

x > -(-5.4931) / 1.0986,

x > 5.

Таким образом, решением данного неравенства является множество всех чисел x, больших 5.

2) Перейдем ко второму неравенству: (5/7)^3x+4 ≥ 25/49.

Чтобы решить это неравенство, приведем обе стороны к общему основанию (например, 7):

(7^(3x+4))/(7^2) ≥ 25/49.

7^(3x+4-2) ≥ 25/49.

7^(3x+2) ≥ 25/49.

В данном случае нет возможности найти точный аналитический ответ, поэтому упростим неравенство численно, используя таблицы значений или калькулятор.

В результате мы получаем:

3x + 2 ≥ log_7(25/49).

Подставляя числовые значения, мы можем приблизительно определить, какое должно быть значение x.

3) Третье неравенство: 4^(2x) - 5 * 4^x + 4 < 0.

Здесь, чтобы упростить неравенство, мы можем заменить 4^x на переменную y:

y^2 - 5y + 4 < 0.

Это квадратное неравенство можно решить путем факторизации:

(y - 1)(y - 4) < 0.

Это неравенство будет выполняться, когда оба сомножителя будут иметь разные знаки с учетом интервала (0, 4).

Таким образом, получаем:

y < 4 и y > 1.

Теперь заменяем y на 4^x:

4^x < 4 и 4^x > 1.

При использовании свойств степеней, получаем:

2x < 2 и 2x > 0.

x < 1 и x > 0.

Таким образом, решением данного неравенства являются все числа x, принадлежащие интервалу (0, 1).