Question

Найдите интеграл от 1 до 4 (4x^3-3√x)dx

Answer 1

₁∫⁴(4x³-3√x)dx=(4x⁴/4-3*(2/3)*x³/²) ₁|⁴=(x⁴+2*x³/²) ₁|⁴=

=4⁴+2*4³/²-1⁴-2*1³/²=256+16-1-3=269.

Answer 2

Давайте найдем интеграл \(\int_{1}^{4} (4x^3 - 3\sqrt{x}) \,dx\).

Для интегрирования каждого слагаемого отдельно используем стандартные правила интегрирования.

1. Интеграл от \(4x^3\) по \(x\): \[ \int 4x^3 \,dx = \frac{4}{4} \cdot \frac{x^4}{4} = x^4. \]

2. Интеграл от \(-3\sqrt{x}\) по \(x\): \[ \int -3\sqrt{x} \,dx = -3 \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{3/2} = -2x^{3/2}. \]

Теперь вычислим значение интеграла на отрезке \([1, 4]\): \[ \int_{1}^{4} (4x^3 - 3\sqrt{x}) \,dx = \left[ x^4 - 2x^{3/2} \right]_{1}^{4}. \]

Подставим верхний предел: \[ = (4^4 - 2 \cdot 4^{3/2}) - (1^4 - 2 \cdot 1^{3/2}). \]

Вычислим каждую часть: \[ = (256 - 2 \cdot 8) - (1 - 2) = 256 - 16 - 1 + 2 = 241. \]

Таким образом, \(\int_{1}^{4} (4x^3 - 3\sqrt{x}) \,dx = 241\).