Question

К кривой y= -x^2+2x-1 в точке с абсциссой х=2 проведена касательная. Определите угол между этой касательной и прямой у=х-1

Answer 1

Y₁=-x²+2x-1    x₀=2    y₂=x-1
yk=y(x₀)+y`(x₀)*(x-x₀)
y(2)=(-2)²+2*2-1=7
y₁`=-2x+2=2-2x
y`(2)=-2*2+2=-2
yk=7+(-2)*(x-2)=7-2x+4=11-2x.
Найдём точку пересечения касательной y=2-2x и прямой y=x-1
2-2x=x-1
x=1
y₂`=1
tgα=I(y₁`-y₂`)/(1+y₁`*y₂`)I
tgα=I(2-2x-1)/(1/(-2x+2)*1I
tgα=I(1-2x)/(1-2x+2)I
tgα=I(1-2x)/(3-2x)I
tgα=I(1-2*1)/(3-2*1)I
tgα=I-1/1I
tgα=1
α=45°

Answer 2

Для определения угла между касательной и прямой, нам понадобится найти угол наклона каждой из них.

Начнем с кривой y = -x^2 + 2x - 1. Чтобы найти угол наклона касательной, нам нужно найти производную функции y по x и вычислить ее значение в точке х = 2.

y' = -2x + 2 (дифференцируем мономы по правилу d(x^n)/dx = nx^(n-1)) y'(2) = -2(2) + 2 = -4 + 2 = -2

Таким образом, угол наклона касательной к кривой в точке х = 2 составляет -2 радианы или -114.59 градусов (примерно).

Теперь рассмотрим прямую у = х - 1. Угол наклона прямой можно определить, заметив, что уравнение уже находится в виде y = mx + b, где m - угол наклона прямой. Очевидно, что m = 1.

Теперь, чтобы найти угол между этими двумя линиями, нам нужно вычесть угол наклона одной линии из угла наклона другой. В данном случае, угол наклона прямой меньше, поэтому мы вычитаем угол наклона прямой из угла наклона касательной.

Угол между касательной и прямой у = х - 1 равен:

-2 - 1 = -3 радианы или -172.79 градусов (примерно).

Таким образом, угол между проведенной касательной и прямой у = х - 1 составляет примерно -172.79 градусов.