Question

Производная :У’=(х^8-5х^4/(х^4-1)^2)’

Answer 1

Решение во вложении:

Answer 2

Чтобы найти производную функции, вам потребуется использовать правила дифференцирования для различных типов функций. Давайте разберем каждую часть вашей функции по отдельности.

Функция, для которой мы ищем производную, имеет вид:

У'(x) = (x^8 - 5x^4 / (x^4 - 1)^2)'

Дифференцирование степенной функции

Начнем с первого слагаемого в скобках: x^8. Производная степенной функции x^n, где n - постоянная, равна n * x^(n-1). В данном случае, n = 8, поэтому производная x^8 равна 8 * x^(8-1) = 8x^7.

Теперь рассмотрим второе слагаемое в скобках: -5x^4. По тому же правилу, производная -5x^4 равна -5 * 4 * x^(4-1) = -20x^3.

Дифференцирование частного

Перейдем к второй части функции: 5x^4 / (x^4 - 1)^2. Здесь у нас есть частное двух функций.

Для дифференцирования частного используется правило, называемое правилом дифференцирования частного. Если у нас есть функции u(x) и v(x), то производная их частного du(x)/dx делится на v(x) и вычитается производная v(x)/dx, деленная на v(x) в квадрате.

В нашем случае, u(x) = 5x^4 и v(x) = (x^4 - 1)^2.

Производная u(x) равна 20x^3 (по тому же правилу, которое мы использовали ранее).

Производная v(x) требует некоторых дополнительных шагов. Для этого воспользуемся цепным правилом дифференцирования.

Цепное правило

Для дифференцирования сложной функции, такой как (g(f(x)))', мы можем использовать цепное правило. Оно гласит, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

В нашем случае, у нас есть функция v(x) = (x^4 - 1)^2. Внутренняя функция - (x^4 - 1), а внешняя функция - возвести результат в квадрат.

Производная внутренней функции (x^4 - 1)' равна 4x^3 (по правилу дифференцирования степенной функции).

Производная внешней функции (x^4 - 1)^2 будет равна 2(x^4 - 1) * (4x^3). Мы умножаем производную внешней функции на производную внутренней функции.

Финальный результат

Теперь, когда мы нашли производные каждой части функции, мы можем объединить их вместе, чтобы получить окончательный результат:

У'(x) = 8x^7 - 20x^3 + 10x^3(x^4 - 1) / (x^4 - 1)^2

Вот и все! Теперь у вас есть подробный ответ на ваш вопрос о производной функции У'(x). Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!