Question

Найти производную сложной функции y=sin(2x^2+3)

Answer 1

Сначала находим производную от синуса, а потом от аргумента :
y'= cos(2x^2+3)*4x

Answer 2

Давайте найдем производную сложной функции \( y = \sin(2x^2 + 3) \). Для этого мы будем использовать цепное правило дифференцирования.

Цепное правило утверждает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Пусть \( u = 2x^2 + 3 \), тогда наша функция записывается как \( y = \sin(u) \).

1. Найдем производную внешней функции по переменной \( u \):

\[ \frac{dy}{du} = \cos(u) \]

2. Теперь найдем производную внутренней функции по переменной \( x \):

\[ \frac{du}{dx} = 4x \]

3. По цепному правилу производная сложной функции равна произведению этих двух производных:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]

Подставим значения:

\[ \frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot 4x \]

4. Теперь подставим обратно выражение для \( u \):

\[ \frac{dy}{dx} = 4x \cos(2x^2 + 3) \]

Таким образом, производная функции \( y = \sin(2x^2 + 3) \) по переменной \( x \) равна \( 4x \cos(2x^2 + 3) \).