Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^2*(6-x) на промежутке {-1;5}

Answer 1

F(x)=x^2*(6-x)

F(x)=6x^2-x^3

f(x)=3x(4-x)

f(x)>0 =»» 0<x<4

min - (0,0); max - (4,32)

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x) = x^2 \cdot (6 - x)\) на интервале \([-1; 5]\), сначала найдем критические точки функции в этом интервале.

1. Найдем производную функции \(f(x)\): \[f(x) = x^2 \cdot (6 - x)\] \[f'(x) = 2x \cdot (6 - x) + x^2 \cdot (-1)\] \[f'(x) = 12x - 2x^2 - x^2\] \[f'(x) = 12x - 3x^2\]

2. Найдем точки, где производная равна нулю: \[f'(x) = 0\] \[12x - 3x^2 = 0\] \[3x(4 - x) = 0\]

Из этого уравнения следует, что \(x = 0\) или \(x = 4\).

3. Определим значения функции в найденных критических точках и на концах интервала \([-1; 5]\):

а) \(x = -1\) \[f(-1) = (-1)^2 \cdot (6 - (-1)) = 1 \cdot 7 = 7\]

б) \(x = 0\) \[f(0) = 0^2 \cdot (6 - 0) = 0 \cdot 6 = 0\]

в) \(x = 4\) \[f(4) = 4^2 \cdot (6 - 4) = 16 \cdot 2 = 32\]

г) \(x = 5\) \[f(5) = 5^2 \cdot (6 - 5) = 25 \cdot 1 = 25\]

Таким образом, наименьшее значение функции \(f(x)\) на интервале \([-1; 5]\) равно 0, а наибольшее значение равно 32.