Question

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найти объем пирамиды

Answer 1

Высота треугольника основания h = a*cos30 = 8*√3 / 2 = 4√3.
Проекция бокового ребра на основание равно 2/3h = 2*4√3 / 3 =
= 8 / √3 (по свойству медиан).
Высота пирамиды равна этой же величине: Н = 8 / √3.
Площадь основания Sо = а²√3 / 4 = 8²*√3/ 4 = 16√3 = 27,7128.
Объём пирамиды V = (1/3)*So*H =(1/3)*16√3*(8/√3) = 128/3 = 42.6667.

Answer 2

Для нахождения объема пирамиды необходимо знать длину стороны основания и высоту пирамиды. Для решения этой задачи представим пирамиду как усеченную пирамиду, у которой верхняя и нижняя основания являются равными правильными треугольниками.

Пусть сторона основания равна 8. Так как треугольник является правильным, то все его стороны равны между собой. Следовательно, каждая сторона основания равна 8.

Определим высоту пирамиды. Рассмотрим треугольник, образованный стороной основания и половиной бокового ребра пирамиды. Так как угол между стороной основания и плоскостью основания составляет 45 градусов, массив треугольник является прямым. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Получаем следующее уравнение: (8/2)^2 + h^2 = (8)^2, где h - высота пирамиды. Упростим уравнение: 4^2 + h^2 = 8^2, 16 + h^2 = 64, h^2 = 64 - 16, h^2 = 48. Извлекая корень из обеих частей, получаем: h = √48 = 4√3.

Теперь мы знаем сторону основания (8) и высоту пирамиды (4√3). Объем пирамиды вычисляется по формуле: V = (1/3) * S * h, где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Площадь основания правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле: S = (√3 * a^2)/4, где S - площадь основания, a - сторона основания.

Подставим известные значения: S = (√3 * 8^2)/4 = (√3 * 64)/4 = 16√3.

Теперь вычислим объем пирамиды: V = (1/3) * S * h = (1/3) * 16√3 * 4√3 = (1/3) * 16 * 3 * 4 = (1/3) * 16 * 12 = 64 * 4 = 256.

Таким образом, объем пирамиды равен 256 единицам объема.