Question

Длина катета АС прямоугольного треугольника АВС равна 8 см.Окружность с диаметром АС пересекает гипотенузу АВ в точке М.Найдите площадь треугольника АВС,если известно,что АМ:МВ=16:9

Answer 1

СМ Перпендикулярк АВ, тк угол АМК опирается на диаметр АС, Т.е СЬ - высота проведенная из вершины прямого угла С. По теореме  - катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. Гипотенуза АВ равнв АМ+МВ=16х+9х=25х. Итак

8=√25х*16х отсюда х=0,4 АВ=25х=10. По теореме Пиф. СВ=6. Площадь прямоугольного треуг. равна половине произведения его катетов АС*СВ/2=8*6/2=24

Answer 2

Для решения этой задачи давайте обозначим следующие величины:

Пусть \( AC \) - длина катета, равная 8 см.

Также, \( AM:MB = 16:9 \). Обозначим \( AM = 16x \) и \( MB = 9x \), где \( x \) - коэффициент пропорциональности.

Из этого следует, что \( AB = AM + MB = 16x + 9x = 25x \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABC \). Мы знаем, что \( AC \) - катет, а \( AB \) - гипотенуза.

Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника следует:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения:

\[ (25x)^2 = (8)^2 + BC^2 \]

\[ 625x^2 = 64 + BC^2 \]

Теперь найдем выражение для \( BC^2 \):

\[ BC^2 = 625x^2 - 64 \]

Теперь рассмотрим окружность с диаметром \( AC \). Точка \( M \) - это точка пересечения гипотенузы \( AB \) с окружностью. Так как \( M \) лежит на окружности, то \( AM \cdot MB = CM \cdot BM \) (теорема о касательных).

Подставим значения \( AM \) и \( MB \):

\[ (16x) \cdot (9x) = CM \cdot (BM) \]

\[ 144x^2 = CM \cdot (25x - CM) \]

Раскроем скобки:

\[ 144x^2 = 25x \cdot CM - CM^2 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[ BC^2 = 625x^2 - 64 \]

\[ 144x^2 = 25x \cdot CM - CM^2 \]

Теперь найдем \( CM \) и \( BC \). Сначала решим второе уравнение относительно \( CM \):

\[ CM^2 - 25x \cdot CM + 144x^2 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac \]

\[ D = (-25)^2 - 4 \cdot 144x^2 \]

\[ D = 625 - 576x^2 \]

Так как \( D \) должно быть неотрицательным, \( 625 - 576x^2 \geq 0 \).

\[ 576x^2 \leq 625 \]

\[ x^2 \leq \frac{625}{576} \]

\[ x \leq \frac{25}{24} \]

Теперь найдем \( CM \) из уравнения:

\[ CM = \frac{25x + \sqrt{D}}{2} \]

Подставим значение \( x \leq \frac{25}{24} \):

\[ CM = \frac{25x + \sqrt{625 - 576x^2}}{2} \]

Теперь найдем \( BC \) из первого уравнения:

\[ BC = \sqrt{625x^2 - 64} \]

Теперь, когда у нас есть \( CM \) и \( BC \), можем найти площадь треугольника \( ABC \). Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как \( \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \).

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot BC \]

Теперь у нас есть выражение для площади треугольника \( ABC \) в терминах \( x \).