Question

Які з чисел -2,0,2 є розв'язками нерівності х2+4х-4<0

Answer 1

X²+4x-4<0;
D=16+16=32;
x1=(-4-4√2)/2=-2-2√2≈-4,8;
x2=(-4+4√2)/2=-2+2√2≈0,8;
x∈(-2-2√2; -2+2√2).
-2; 0 ∈(-2-2√2; -2+2√2);
2 ∉(-2-2√2; -2+2√2)

Answer 2

Щоб знайти розв'язки нерівності \(x^2 + 4x - 4 < 0\), спочатку знайдемо квадратний тричлен, який знаходиться в лівій частині, а потім розглянемо знак виразу в різних інтервалах.

Дана нерівність може бути записана у вигляді:

\[ x^2 + 4x - 4 < 0 \]

Тепер спробуємо розв'язати квадратне рівняння \(x^2 + 4x - 4 = 0\), щоб знайти його корені. Застосуємо квадратне рівняння:

\[ x^2 + 4x - 4 = 0 \]

Дискримінант цього рівняння можна знайти за формулою \(D = b^2 - 4ac\), де \(a\), \(b\), та \(c\) - коефіцієнти рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\).

У нашому випадку \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -4\).

\[ D = (4)^2 - 4(1)(-4) = 16 + 16 = 32 \]

Дискримінант \(D = 32\) і є додатнім числом, що означає, що у рівняння \(x^2 + 4x - 4 = 0\) є два дійсних корені.

Тепер знайдемо самі корені. Використаємо формулу квадратного рівняння:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} \]

\[ x = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} \]

\[ x = -2 \pm 2\sqrt{2} \]

Отже, ми маємо два корені: \(x_1 = -2 + 2\sqrt{2}\) та \(x_2 = -2 - 2\sqrt{2}\).

Ці корені розділяють вісь \(x\) на три інтервали:

1. \((- \infty, -2 - 2\sqrt{2})\) 2. \((-2 - 2\sqrt{2}, -2 + 2\sqrt{2})\) 3. \((-2 + 2\sqrt{2}, +\infty)\)

Тепер оберемо по одному значенню з кожного інтервалу та підставимо його у вихідну нерівність \(x^2 + 4x - 4 < 0\), щоб визначити знак виразу на кожному інтервалі.

1. Для інтервалу \((- \infty, -2 - 2\sqrt{2})\): Оберемо, наприклад, \(x = -3\).

\[ (-3)^2 + 4(-3) - 4 = 9 - 12 - 4 = -7 \]

Отже, вираз від'ємний на цьому інтервалі.

2. Для інтервалу \((-2 - 2\sqrt{2}, -2 + 2\sqrt{2})\): Оберемо, наприклад, \(x = -2\).

\[ (-2)^2 + 4(-2) - 4 = 4 - 8 - 4 = -8 \]

Отже, вираз від'ємний на цьому інтервалі.

3. Для інтервалу \((-2 + 2\sqrt{2}, +\infty)\): Оберемо, наприклад, \(x = -1\).

\[ (-1)^2 + 4(-1) - 4 = 1 - 4 - 4 = -7 \]

Отже, вираз від'ємний на цьому інтервалі.

Отже, розв'язками нерівності \(x^2 + 4x - 4 < 0\) є значення \(x\), які належать інтервалам \((-2 - 2\sqrt{2}, -2 + 2\sqrt{2})\).