Question

Исключить иррациональность дроби √(x^2+2x+1)/x-1 при x<1

Answer 1

$\sqrt{x^2+2x+1}=\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|= \left [ {{x+1,\; esli\; (x+1) \geq 0,\; x \geq -1} \atop {-x-1,\; esli\; (x+1)\ \textless \ 0,\; x\ \textless \ -1}} \right. \\\\\\x\ \textless \ 1\; \; \Rightarrow \; \; |x+1|= \left [ {{x+1,\; esli\; -1 \leq x\ \textless \ 1} \atop {-x-1,\; esli\; x\ \textless \ -1}} \right. \\\\\\ \frac{\sqrt{x^2+2x+1}}{x-1}=\frac{|x+1|}{x-1} = \left [ {{ \frac{x+1}{x-1} ,\; esli\; -1 \leq x\ \textless \ 1} \atop { \frac{-x-1}{x-1} },\; esli\; x\ \textless \ -1} \right.$

Answer 2

Я могу помочь вам решить эту задачу.

Для того, чтобы исключить иррациональность дроби $$\sqrt{x^2+2x+1} \over x-1$$ при $$x<1$$, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Заметим, что $$x^2+2x+1 = (x+1)^2$$, поэтому мы можем упростить выражение под корнем: $$\sqrt{x^2+2x+1} = \sqrt{(x+1)^2} = |x+1|$$ 2. Так как $$x<1$$, то $$x+1<2$$, а значит $$|x+1| = -(x+1)$$, поскольку модуль отрицательного числа равен его противоположности. 3. Подставим полученное значение в исходную дробь и получим: $$\sqrt{x^2+2x+1} \over x-1 = -{x+1 \over x-1} = -1 - {2 \over x-1}$$ 4. Теперь мы исключили иррациональность дроби, но она все еще не определена при $$x=1$$, поскольку в этом случае знаменатель обращается в ноль. Чтобы найти предел дроби при $$x \to 1$$, мы можем использовать правило Лопиталя или просто подставить значение $$x=1+\varepsilon$$, где $$\varepsilon$$ - очень маленькое положительное число, и посмотреть, что получится: $$\lim_{x \to 1} -1 - {2 \over x-1} = \lim_{\varepsilon \to 0} -1 - {2 \over (1+\varepsilon)-1} = \lim_{\varepsilon \to 0} -1 - {2 \over \varepsilon} = -\infty$$ 5. Итак, мы получили, что дробь $$\sqrt{x^2+2x+1} \over x-1$$ при $$x<1$$ эквивалентна дроби $$-1 - {2 \over x-1}$$, которая стремится к $$-\infty$$ при $$x \to 1$$.

Надеюсь, это было полезно. Если у вас есть еще вопросы, я рад помочь.

: [Правило Лопиталя] - это метод вычисления пределов функций, основанный на производных.