Question

Решите неравенство 0,5^x<3

Answer 1

Представим правую часть неравенства в виде $0.5^x\ \textless \ 0.5^{\log_{0.5}3}$. Учитывая то, что основаниe $0\ \textless \ 0.5\ \textless \ 1$, функция убывающая, то знак неравенства меняется на противоположный, т.е. $x\ \textgreater \ \log_{0.5}3$

Ответ: $x \in (\log_{0.5}3;+\infty)$

Answer 2

Давайте решим это неравенство шаг за шагом.

Выражение 0,5^x означает "0,5 в степени x". Чтобы решить неравенство 0,5^x < 3, мы должны найти все значения переменной x, при которых это неравенство выполняется.

Шаг 1: Логарифмирование

Для начала применим логарифм к обеим частям неравенства. Логарифмирование позволит нам избавиться от степени и перейти к логарифмическому уравнению.

Применим логарифм с основанием 0,5 к обеим частям неравенства:

log0,5(0,5^x) < log0,5(3)

Шаг 2: Свойства логарифмов

Свойство логарифма гласит, что loga(b^c) = c * loga(b). Мы можем использовать это свойство для упрощения левой стороны неравенства:

x * log0,5(0,5) < log0,5(3)

Так как log0,5(0,5) равняется 1 (потому что 0,5 в первой степени равно 0,5), уравнение упрощается:

x < log0,5(3)

Шаг 3: Вычисление логарифма

Теперь нам нужно вычислить log0,5(3). Логарифм с основанием 0,5 можно выразить через логарифм с основанием 2 (log2(3)):

log0,5(3) = log2(3) / log2(0,5)

Число log2(0,5) равно -1 (потому что 2 в -1 степени равно 0,5), поэтому уравнение упрощается:

x < log2(3) / -1

Шаг 4: Вычисление значения

Вычислим значение log2(3) / -1:

x < -log2(3)

Это означает, что все значения x, которые меньше, чем -log2(3), удовлетворяют исходному неравенству.

Ответ

Таким образом, решением неравенства 0,5^x < 3 является x < -log2(3).